《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

44. (2024 陕西 TYZBH 学校)如图,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是$A,B,C,D$,直线$m通过A,B$,直线$n通过C,D$,用$S$表示一个圆的面积,四个圆在纸上盖住的总面积是$4S-7$,直线$m,n$之间被圆盖住的面积是 8,两圆重叠的阴影部分的面积依次为$S_1,S_2,S_3$,且满足$S_3= \frac{1}{3}S_1= \frac{1}{2}S_2$,求$S$的值。

答案： 解：由题意可得$4S - 7 = 4S - S_{1} - S_{2} - S_{3}$，则$S_{1} + S_{2} + S_{3} = 7$①，再由$S_{3} = \frac{1}{3}S_{1} = \frac{1}{3}S_{2}$可得$S_{1} = S_{2} = 3S_{3}$②，将②代入①，得$3S_{3} + 3S_{3} + S_{3} = 7$，解得$S_{3} = 1$，所以$S_{1} = S_{2} = 3$。又因为$2S - \frac{1}{2}S_{1} - S_{2} - \frac{1}{2}S_{3} = 8$，即$2S - \frac{3}{2} - 3 - \frac{1}{2} = 8$，解得$S = \frac{13}{2}$。
答：S是$\frac{13}{2}$。

45. (2024 陕西 TYZ 创新班)如图,已知一个五边形的三条边的长和四个角的度数,那么这个五边形的面积是 。

答案：
29.5 【解析】如解图，延长CB，CD，分别交直线AE于F，G，过点A向BF作垂线，垂足为H，由题知，$∠AED = 135^{\circ}$，则$∠DEG = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$，又因为$∠EDG = 90^{\circ}$，故三角形DEG为等腰直角三角形，$∠G = 45^{\circ}$。在三角形CFG中，$∠G = 45^{\circ}$，$∠C = 90^{\circ}$，故三角形CFG为等腰直角三角形，再根据$∠F = 45^{\circ}$，$∠BAF = 90^{\circ}$，可知三角形ABF为等腰直角三角形，则$CF = CG = CD + DG = CD + DE = 7 + 2 = 9$，故$BF = CF - BC = 9 - 3 = 6$，$AH = \frac{1}{2}BF = 3$，故$S_{五边形ABCDE} = S_{△CFG} - S_{△DEG} - S_{△ABF} = 9×9÷2 - 2×2÷2 - 6×3÷2 = 29.5$。
　　　　　　

46. (2023 陕西 JDFZ)如图,四边形$ABCD$是长方形,其中$AB= 8$,$AE= 6$,$ED= 3$,并且$F是线段BE$的中点,$G是线段FC$的中点,求三角形$DFG$的面积。

答案：
解：如解图，连接BD，CE，则$S_{△BDE} = 3×8÷2 = 12$，$S_{△BCE} = (3 + 6)×8÷2 = 36$。因为F是线段BE的中点，所以$S_{△DEF} = \frac{1}{2}S_{△BDE} = \frac{1}{2}×12 = 6$，$S_{△BCF} = \frac{1}{2}S_{△BCE} = \frac{1}{2}×36 = 18$，因为$S_{梯形BCDE} = [3 + (3 + 6)]×8÷2 = 48$，所以$S_{△DCF} = S_{梯形BCDE} - S_{△DEF} - S_{△BCF} = 48 - 6 - 18 = 24$，因为G是线段FC的中点，所以$S_{△DFG} = \frac{1}{2}S_{△DCF} = \frac{1}{2}×24 = 12$。
　　　　　　　　　　　　　　
答：$△DFG$的面积是12。

47. (2024 陕西 TYZBH 学校)如图,正方形$ABCD的AD边与正方形EFGH的EF$边部分重合,$AD= 6$,$EF= 4$,并且$D是EF$的中点,则阴影部分的总面积是多少?

答案：
解：如解图，延长BA，GH交于点O，因为$EF = 4$，并且D是EF的中点，所以$DF = ED = 4÷2 = 2$，所以$AE = 6 - 2 = 4$，易得四边形AEHO是正方形，则$BO = 6 + 4 = 10$，$GO = 4 + 4 = 8$，所以阴影部分的面积为$8×10×\frac{1}{2} - 4×4 = 24$。
　　　　　　
答：阴影部分的总面积是24。

48. (2023 陕西 BH 学校改编)如图,在长方形$ABCD$中,$AD= 5\ \text{cm}$,$AB= 4\ \text{cm}$,正方形$AEFG$的面积为 25$\text{cm}^2$,点$E在线段BC$上,则三角形$ADG$的面积是多少?

答案：
解：如解图，正方形AEFG的面积是$25cm^{2}$，所以$AE = AG = 5cm$，过点G作GH垂直AD交DA的延长线于点H，由勾股定理可得：$BE^{2} = AE^{2} - AB^{2} = 25 - 16 = 9$，$9 = 3×3$，$BE = 3cm$，$∠EAB = ∠HAG$，$∠B = ∠H = 90^{\circ}$，$AG = AE$，所以$△AEB$与$△AGH$完全一样，所以$HG = BE = 3cm$，所以$S_{△ADG} = 3×5÷2 = 7.5(cm^{2})$。
　　　　　　　
　　　　　　　　第48题解图