《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

18. (2024 陕西 JDFZ)某电器商场欲用 9 万元购进某种品牌的电冰箱 50 台,已知该品牌的电冰箱有甲、乙、丙三种不同型号,出厂价分别为:甲种每台 1500 元,乙种每台 2100 元,丙种每台 2500 元。商场销售一台电冰箱的获利情况分别为:甲种 150 元,乙种 200 元,丙种 250 元。若商场准备同时购进其中两种不同型号的电冰箱,请你设计出最佳进货方案。

答案： 解:设购进甲种电冰箱x台,乙种电冰箱y台,根据题意，得$\begin{cases}x+y=50\\1500x+2100y=90000\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=25\\y=25\end{cases}$　　则此时的利润是$150×25+200×25=8750$(元);　　设购进甲种电冰箱x台,丙种电冰箱z台,根据题意,得$\begin{cases}x+z=50\\1500x+2500z=90000\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=35\\z=15\end{cases}$　　则此时的利润是$150×35+250×15=9000$(元);　　设购进乙种电冰箱y台,丙种电冰箱z台,根据题意，得$\begin{cases}y+z=50\\2100y+2500z=90000\end{cases}$，解得$\begin{cases}y=87.5\\z=-37.5\end{cases}$　　此时不符合题意，舍去。　　因为$9000＞8750$，所以购进甲种型号的电冰箱35台，丙种型号的电冰箱15台为最佳方案。　　答:购进甲种型号的电冰箱35台,丙种型号的电冰箱15台为最佳进货方案。

19. (2024 陕西 TYZBH 学校)小红打算用 32 元全部购买苹果和橘子,苹果 3 元一斤,橘子2 元一斤,若她两种水果都买了一些,并且都是整数斤,则共有5种购买方案。

答案： 5

20. (2024 陕西 TYZ)李大爷出生在上个世纪,他 2010 年时的年龄恰好是他出生那一年年份各数位数字之和的 4 倍,则李大爷出生在1950年。

答案： 1950

21. (2023 陕西 GXYZ 博雅班)29 人住旅馆,有 3 人间和 2 人间若干,每间房住满,有5种不同的安排。

答案： 5

22. (2023 陕西 TYZ)方程$2x+3y= 100$有16组正整数解。

答案： 16　[解析]根据方程$2x+3y=100$，可以找到的正整数解有:$x=2,y=32$；$x=5,y=30$；$x=8,y=28$；由此可以发现，x的值是一个首项为2、公差为3的等差数列，因为$2x＜100$，所以$x＜50$，那么x最大是47，$2+3×$(项数−1)$=47$，项数=16，即方程$2x+3y=100$有16组正整数解。

23. (2024 陕西 GDFZ )小红整理零钱包时发现,包中有面值为 1 分,2 分,5 分的硬币共有 25 枚,总值为 0.60 元,则 5 分的硬币最多有______枚。
[答案]：8　[解析]0.60元=60分，设1分,2分,5分的硬币各有x枚,y枚,z枚，$\begin{cases}x+y+z=25&①\\x+2y+5z=60&②\end{cases}$，②−①得:$y+4z=35$，要使5分的硬币最多,则z最大,y最小,因为35是奇数,所以y必须也是奇数,当$y=1$时,z 的值不是整数,当$y=3$时,$z=8$，所以5分硬币最多有8枚。8

答案： 8　[解析]0.60元=60分，设1分,2分,5分的硬币各有x枚,y枚,z枚，$\begin{cases}x+y+z=25&①\\x+2y+5z=60&②\end{cases}$，②−①得:$y+4z=35$，要使5分的硬币最多,则z最大,y最小,因为35是奇数,所以y必须也是奇数,当$y=1$时,z 的值不是整数,当$y=3$时,$z=8$，所以5分硬币最多有8枚。

六年级八班的读书小组共 6 位同学,甲、乙、丙、丁、戊、己。其中 6 本书,书名是A,B,C,D,E,F,他们每人至少读过其中的 1 本书。已知甲、乙、丙、丁、戊读过其中的 2,2,4,3,5 本书,而书 A,B,C,D,E 被小组中的 1,4,2,2,2 位同学读过。那么己同学读过______本书。
1

答案： 1　[解析]这6名同学读的本数之和不变，设己读了x本书,F被y名同学读过,那么$2+2+4+3+5+x =1+4+2+2+2+y$，化简得:$x+5=y$，因为有6名同学,每人至少读过其中的1本书,所以$x≥1,y≤6$，所以$x=1,y=6$。所以己同学读过1本书。

25. (2024 陕西 GXYZSY 中学)电影票有 10 元、15 元、20 元三种票价,班长用 500 元买了 30 张电影票,其中票价为 20 元的比票价为 10 元的多10张。

答案： 10　[解析]设10元、15元和20元的电影票分别有a张、b张和c张,根据题意，得$10a+15b+20c=500$①，$a+b+c=30$②，由②得$b=30-a-c$，将$b=30-a-c$代入①,得$10a+15×(30-a-c)+20c=500$，化简得$5(c-a)=50$，即$c-a=10$。所以票价为20元的比票价为10元的多10张。

26. (2022 陕西 JDFZ)你玩过抱团游戏吗?游戏规则:可 6 人抱一堆,也可 4 人抱一堆。如果有 38 人,怎样抱团刚好一人也不剩下,请用自己的方式找出所有可能的方案,做到不重复、不遗漏。

答案： 解:设6人抱一堆有x堆,4人抱一堆有y堆,由题意得$6x+4y=38$，化简得$3x+2y=19$，由于x和y是自然数，2y为偶数，3x为奇数，才能使和为奇数，所以x一定为奇数，故x可取值1、3、5，当$x=1$时，$y=8$；当$x=3$时，$y=5$；当$x=5$时，$y=2$。　　答:可能的方案有:①6人的1堆,4人的8堆；②6 人的3堆，4人的5堆；③6人的5堆,4人的2堆。

27. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)某城市有一段马路需要整修,这段马路的长不超过 3500 米,今有甲、乙、丙三个施工队,分别施工人行道、非机动车道和机动车道。他们于某天零时同时开工,每天 24小时连续施工。若干天后的零时,甲完成任务;几天后的 18 时,乙完成任务;自乙队完成的当天零时起,再过几天后的 8 时,丙完成任务,已知三个施工队每天完成的施工任务分别为 300 米、240米、180 米,问这段路面有多长?

答案： 解:设甲a天干完,乙$(a+b)$天+18小时干完,丙$(a+b+c)$天+8小时干完，　　乙队最后一天完成$240×\frac{18}{24}=180$(米)，丙队最后一天完成$180×\frac{8}{24}=60$(米)。由题意得$300a=240(a+b)+180=180(a+b+c)+60$，化简得$5a=4(a+b)+3=3(a+b+c)+1$，解得$a=4b+3$，$b=\frac{3}{5}c-1$。因为$0＜a+b+c+\frac{1}{3}≤\frac{3500}{180}=19\frac{4}{9}$，$0＜a+b+\frac{3}{4}≤\frac{3500}{240}=14\frac{7}{12}$，$0＜a≤\frac{3500}{300}=11\frac{2}{3}$，即$0＜a+b+c≤19$，$0＜a+b≤13$，$0＜a≤11$，所以当$a=11$时，$b=2$，$c=5$；当a为10 时，b不是整数，舍去；同理，当a为其他正整数，如9,8,7,6,5,4,3,2,1时，b,c不同时为正整数，所以这段路面的长度为$11×300=3300$(米)。答:这段路面的长度为3300米。