《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

22. (2023 北京 SYWGY 学校改编)如图是一个棱长 4 厘米的正方体,在正方体上面正中向下挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是 1 厘米的正方体小洞,最后得到的立方体的表面积是116平方厘米。

答案： 116　[解析]棱长为4厘米的正方体表面积：4×4×6=96(平方厘米)，棱长为2厘米的正方体侧面积：2×2×4=16(平方厘米)，棱长为1厘米的正方体侧面积：1×1×4=4(平方厘米)，立方体的表面积：96+16+4=116(平方厘米)。所以最后得到的立方体的表面积是116平方厘米。

23. (2024 陕西 GDFZ 改编)有棱长为 4 cm 的正方体,如图所示。
(1)如图①,在顶面中心位置处,从上到下打一个边长为 2 cm 的正方形通孔,打孔后的立体图形的表面积是多少$ cm^2?$
(2)在第(1)题打孔后,如果再在正面中心位置处(图②中的虚线)从前到后打一个边长为 2 cm 的正方形通孔,这时,立体图形的表面积为多少$ cm^2?$
(3)在第(2)题打孔后,如果再从左面中心位置处,从左至右打一个边长为 2cm 的正方形通孔,这时,立体图形的表面积为多少$ cm^2?$

答案： 解:
(1)打孔后的表面积=原正方体的表面积−两个小正方形孔的面积+孔中四个长方形的面积，S=4×4×6−2×2×2+4×2×4=96−8+3２=120(cm²)。　　答:打孔后的立体图形的表面积是120cm²。　　
(2)打孔后的表面积=题图①的表面积−4个小正方形孔的面积+新打的孔中面积为2×1的8个长方形的面积，S=120−4×2×2+8×2×1=120−16+16=120(cm²)。　　答:打孔后的立体图形的表面积是120cm²。　　
(3)打孔后的表面积=题图②的表面积−4个小正方形孔的面积+新打的孔中面积为2×1的8个长方形的面积，S=120−4×2×2+8×2×1=120−16+16=120(cm²)。　　答:此立体图形的表面积是120cm²。

24. (2024 四川 SDYZ)如图所示为一个棱长 6 厘米的正方体,从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体,则剩下的体积是原正方体体积的百分之几?(π 取 3.14,保留一位小数)

答案： 解:正方体的体积：6×6×6=216(立方厘米)，圆锥的体积：$3×3×3.14×6×\frac{1}{3}=56.52$(立方厘米)，$(216 - 56.52)÷216≈73.8\%$。　　答:剩下的体积约是原来正方体体积的73.8%。

25. (2024 陕西 GDFZ)如图所示为一个 5×5×5 的立方体,在一个方向上开有 1×1×5 的孔,在另一个方向上开有 2×1×5 的孔,在第三个方向上开有 3×1×5 的孔。
(1)剩余部分的体积是多少?
(2)剩余部分的表面积为多少?

答案： 解:
(1)开了3×1×5的孔，挖去3×1×5=15，开了1×1×5的孔，挖去1×1×5 - 1=4，开了2×1×5的孔，挖去2×1×5-(2 + 2)=6，剩余部分的体积是：$5×5×5-(15 + 4 + 6)=100$。　　答:剩余部分的体积100。　　
(2)表面积可以看成外部和内部两部分，外部的表面积为$5×5×6 - 12=138$，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为$2×(2×5 + 1×5 - 1×2 - 1×3)=20$，$2×(1×5 + 3×5 - 1×3 - 1)=32$，$2×(1×5 + 1×5 - 1×1 - 2)=14$，所以总的表面积为$138 + 20 + 32 + 14=204$。　　答:剩余部分的表面积为204。