《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

17. (2023陕西GDFZ)加工一批零件,甲单独做20天完成,乙单独做每天完成这批零件的$\frac {1}{32}$,现在两
人合作完成这批零件的加工任务,甲中途休息了3天,乙也休息了若干天,这样用了18天才完成
任务,求乙休息的天数。

答案： 解:设乙休息了x天,由已知条件得$\frac{1}{20}×(18-3)+\frac{1}{32}×(18-x)=1$,解得$x=10$。
答:乙休息了10天。

18. (2024陕西GDFZ)某车间A、B、C、D四人在各自的岗位上工作,要12天能完成一批零件的加工任
务,如果A、B交换工作岗位,其他人岗位不变则可提前1天完工;如果C、D交换工作岗位,其他人
岗位不变也可提前1天完工;现在A和B,C和D,同时交换岗位,多少天能完工?

答案： 解:A、B交换或C、D交换工作岗位,工作效率都提高了$\frac{1}{11}-\frac{1}{12}=\frac{1}{132}$,A、B,C、D同时交换工作岗位,工作效率提高了:$\frac{1}{132}×2=\frac{1}{66}$;A、B,C、D同时交换工作岗位后,完成的时间:$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{66})=10\frac{2}{13}$(天)。
答:那么完成这批零件需$10\frac{2}{13}$天。

19. (2024陕西GXYZ)有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要
48天完成.现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完
成,最后完成这项工程也用了整数天.那么丙休息了几天?

答案： 解:设完成这项工程用了$x$天，丙休息了$y$天，其中$x$、$y$为整数，且$0 \leq y ＜ x$。
工作总量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{36}$，乙的工作效率为$\frac{1}{30}$，丙的工作效率为$\frac{1}{48}$。
甲工作$x$天，完成$\frac{x}{36}$；乙工作$x$天，完成$\frac{x}{30}$；丙工作$(x - y)$天，完成$\frac{x - y}{48}$。
根据题意可得：$\frac{x}{36} + \frac{x}{30} + \frac{x - y}{48} = 1$
通分计算：
$\frac{40x}{1440} + \frac{48x}{1440} + \frac{30(x - y)}{1440} = 1$
$40x + 48x + 30x - 30y = 1440$
$118x - 30y = 1440$
化简得：$59x - 15y = 720$
$15y = 59x - 720$
$y = \frac{59x - 720}{15}$
因为$y$为整数，所以$59x - 720$必须是$15$的倍数。$59 \equiv 9 \mod 15$，$720$是$15$的倍数，所以$9x$必须是$15$的倍数，即$3x$是$5$的倍数，$x$是$5$的倍数。
又因为甲、乙合作需要$\frac{180}{11} \approx 16.36$天，三人合作需要$1÷(\frac{1}{36} + \frac{1}{30} + \frac{1}{48}) = 1÷(\frac{40 + 48 + 30}{1440}) = \frac{1440}{118} \approx 12.2$天，所以$x$的取值范围在$13$到$16$之间（因为甲、乙合作需约$16.36$天，所以$x$小于$17$），且$x$是$5$的倍数，故$x = 15$。
将$x = 15$代入$y = \frac{59×15 - 720}{15} = \frac{885 - 720}{15} = \frac{165}{15} = 11$
答：丙休息了$11$天。

20. (2024陕西GDFZ)一件工程,甲、乙、丙三人合作需要13天,如果丙休息2天,乙就要多做4天,或
者由甲、乙两人合作多做1天。这项工程由甲独做需要多少天?

答案： 由题意知，丙2天的工作量=乙4天的工作量，可得丙的工作效率是乙的2倍；丙2天的工作量=甲、乙合作1天的工作量，即2丙=甲+乙，又因丙=2乙，所以2×2乙=甲+乙，得出甲=3乙。
设乙的工作效率为x，则丙=2x，甲=3x。三人合作效率为3x+x+2x=6x，总工作量为6x×13=78x。
甲独做时间=总工作量÷甲的效率=78x÷3x=26（天）
答：这项工程由甲独做需要26天。