《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

14. (2023陕西JDHT学校)【实践发现】(1)如图①,点P是直线l外一点,则线段PA、PB、PC中最短的线段是PC。
【应用计算】(2)如图②,将三角形ABC沿直线l翻折得到三角形ADC,若$∠B= 108^{\circ },∠2= 42^{\circ }$,则$∠1$的度数是30°。
【尝试探究】(3)如图③,在三角形ABC中,$∠BAC= 45^{\circ },BC= 8$,三角形ABC的面积是12,点D是BC上任意一点,将三角形ABD沿AB翻折得到三角形ABE,将三角形ACD沿AC翻折得到三角形ACF。若连接EF,试计算三角形AEF面积的最小值。

因为△AEB是由△ADB翻折而来,△ACF是由△ACD翻折而来,所以AE=AD=AF,∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,因为∠DAB+∠DAC=45°,所以∠EAB+∠FAC=45°,所以∠EAF=90°,因为AE=AF=AD,∠EAF=90°,所以△EAF是等腰直角三角形,要使△EAF的面积最小,则AE=AF=AD最小,因为D是边BC上的一点,所以当AD⊥BC时,AD最小,因为BC=8,S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=4AD=12,所以AD=3=AE=AF,S△AEFmin=$\frac{1}{2}$×AE×AF=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$。答:三角形AEF面积最小值为$\frac{9}{2}$。

答案： 14.解:
(1)PC [解析]根据垂线段定理可知,PC最短。
(2)30° [解析]因为△ADC是由△ABC翻折而来的,所以∠CAB=∠2,因为∠B=108°,所以∠1=180°−108°−42°=30°。
(3)因为△AEB是由△ADB翻折而来,△ACF是由△ACD翻折而来,所以AE=AD=AF,∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,因为∠DAB+∠DAC=45°,所以∠EAB+∠FAC=45°,所以∠EAF=90°,因为AE=AF=AD,∠EAF=90°,所以△EAF是等腰直角三角形,要使△EAF的面积最小,则AE=AF=AD最小,因为D是边BC上的一点,所以当AD⊥BC时,AD最小,因为BC=8,S△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=4AD=12,所以AD=3=AE=AF,S△AEFmin=$\frac{1}{2}$×AE×AF=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$。
答:三角形AEF面积最小值为$\frac{9}{2}$。