《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

12. (2022陕西 CDFZ)魔术师表演魔术,从一个装有5个小球的盒子中任取1个小球,把这个小球变成5个和原来一模一样的小球放回盒中;他又从中任取1个小球,又把这个小球也变成5个和原来一模一样的小球放回盒中……如此进行到某一时刻,魔术师停止取球变魔术,此时盒中球的总数可能是(D)
A.2018
B.2019
C.2020
D.2021

答案： D 【解析】第一次取出 1 个再放回 5 个,盒中有(4+5)个小球,第二次取出 1 个再放回 5 个,盒中有(4×2+5)个小球,第三次取出 1 个再放回 5 个,盒中有(4×3+5)个小球,所以第 n 次取出 1 个再放回 5 个,盒中有(4n+5)个小球,只有 2021 满足。

13. (2022陕西 CDFZ)一只小猴子在不停地搬石头。在一条直线上,放了奇数块石头,每两块之间的距离是1.5米,开始时,小猴在“起点”的位置,它要把石头全部搬到中间的位置上(每次只搬一块石头),它把这些石头搬完一共走了204米。这些石头共有(C)块。
A.15
B.16
C.17
D.18

答案： C 【解析】设一共有(2a+1)块石头(a 是自然数),中间石头的两边都有 a 块石头,两边最远的距离都是 1.5a 米,再往中间的距离依次是 1.5(a-1)米、1.5(a-2)米、……、1.5×2 米、1.5×1 米,除第一次搬石头走 1 次外,其余都需要走 2 次,所以 1×1.5×4+2×1.5×4+3×1.5×4+…+(a-1)×1.5×4+a×1.5×3=204,化简为 1×6+2×6+3×6+…+(a-1)×6+4.5a=204,a×(a-1)÷2×6+4.5a=3a×(a-1)+4.5a=204,解得 a=8(不合题意的值已舍去),故 2a+1=17,所以这些石头共有 17 块。

14. (2024陕西 TYZBH 学校)有一串数,如果相邻的四个数之和都等于25,已知第一个数是4,第二个数是6,第三个数是7,这串数中第77个数是______。4

答案： 4 【解析】第四个数:25-(4+6+7)=8,故这串数是 4,6,7,8,4,6,7,8,4,6,7,8,…,77÷4=19……1,故第 77 个数与第一个数相等,是 4。

15. (2024陕西 GX6C)已知一列数中第一个数是2,从第二个数开始,每一个数都等于2减去前一个数的倒数的差,则第2021个数是$\frac{2022}{2021}$。

答案： $\frac{2022}{2021}$

16. (2024陕西 GXYZ 博雅班改编)将一根绳子对折1次,从中间剪断,绳子变成3段;将一根绳子对折2次,从中间剪断,绳子变成5段。
(1)对折3次,从中间剪断,绳子变成9段,对折4次变成17段。
(2)对折7次后从中间剪断,绳子第一次超过100段。
(3)以此类推,将一根绳子对折n次,从中间剪断后,绳子变成$2^{n}+1$段。

答案：
(1)9 17
(2)7 【解析】对折 5 次,从中间剪断,绳子变成 $2^{5}+1=33$(段);对折 6 次,从中间剪断,绳子变成 $2^{6}+1=65$(段);对折 7 次,从中间剪断,绳子变成 $2^{7}+1=129$(段)。
(3)$2^{n}+1$ 【解析】由以上规律可知,将一根绳子对折 n 次,从中间剪断,绳子变成$(2^{n}+1)$段。

17. (2024陕西 GXYZ)有2007个学生,编号为1~2007,他们按编号顺序顺时针排成一圈后,从编号为1的同学开始,按顺时针顺序1,2,1,2…循环地报数,报1的同学出列离开,报2的同学留下,则最后留下的同学的编号是______1024。

答案： 1024 【解析】根据题意可知,第一次留下的同学的编号为 2,4,6,8,10,12…2006(均为 2 的倍数),第二次留下的同学的编号为 4,8,12…2004(均为 $2^{2}$ 的倍数),第三次留下的同学的编号为 8、16…2000(均为 $2^{3}$ 的倍数),…,按此规律,第 n 次后留下的同学的编号为 $2^{n}$ 的倍数,$2^{10}=1024$,$2^{11}=2048$,则最后留下的同学的编号为 1024。

18. (2024重庆 KJC8Z)一次考试中,三年1班的小红的准考证号是“003103419”从左往右第5位到第7位数表示考场号,最后两位表示座位号,即小红在34考场19号,小军与小红同班,小军在8考场42号考试,那么小军的准考证号是______003100842。

答案： 003100842

19. (2024陕西 GXYZ 博雅班)已知小明妈妈的身份证号码为61011319850823,那么她2023年为38周岁。

答案： 38

20. (2024陕西 CXGJDFZ)为确保信息安全,信息需要加密传输。发送方由明文(加密)→密文,接收方由密文(解密)→明文。已知加密规则为明文a,b,c对应的密文为a+1,2b+4,3c+9。例如:明文1,2,3对应的密文是2,8,18。如果接收方收到的密文是9,18,15,则解密得到的明文为8,7,2。

答案： 8,7,2

21. (2022四川 CDWGY 学校)某种数字化的信息传输中,先将信息转化为由数字0和1组成的数字串,并对数字串进行加密后再传输。现采用一种简单的加密方法:将原有的每个1都变成10,原有的每个0都变成01。我们用$A_{0}$表示没有经过加密的数字串,这样对$A_{0}$进行一次加密就得到一个新的数字串$A_{1}$,对$A_{1}$再进行一次加密又得到一个新的数字串$A_{2}$…,例如$A_{0}:10$,则$A_{1}:1001$。若已知$A_{2}:100110101001$,则$A_{0}$:101;若数字串$A_{0}$共有4个数字,则数字串$A_{2}$中相邻两个数字相等的数对至少有4对。

答案： 101 4 【解析】根据加密方法:将原有的每个 1 都变成 10,原有的每个 0 变成 01,因为数字串 $A_{2}$ 为 100101101001,所以数字串 $A_{1}$ 为 100110,则数字串 $A_{0}$ 为 101;因为数字串 $A_{0}$ 共有 4 个数字,经过两次加密得到新的数字串 $A_{2}$ 有 16 个数字,所以,数字串 $A_{0}$ 中的每个数字对应着数字串 $A_{2}$ 中的 4 个数字,4 个数字中至少有一对相邻的数字相等,故数字串 $A_{2}$ 中相邻两个数字相等的数对至少有 4 对。