《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2024 河南 ZZ42SY 中学)能同时被 2、3、5 整除的最大四位数是9990。

答案： 9990 【解析】能够被 2 和 5 整除的数个位数字为 0,能够被 3 整除的数各个数位上的数字之和可以被 3 整除,所以十位、百位和千位均为 9 时最大,所以满足条件的最大四位数为 9990。

2. (2024 陕西 TYZ)在 2022 后面(右边)补上 3 个数字组成一个七位数,使得它分别能被 3,5,7 整除,这些七位数中最小的是______2022090。

答案： 2022090 【解析】要能被 5 整除且最小,则个位为 0;要能被 3 整除,目前各位数字和是 2+0+2+2=6 为 3 的倍数,则十位与百位上的数字和也应为 3 的倍数,又要使其最小,故百位为 0,十位上的数字为 3 的倍数。又因为是 7 的倍数,则十位只能为 9,则这个最小的七位数为 2022090。
解题技巧 7 的倍数特征:循环去个位数字所得新数再减个位数字的 2 倍最终得一个两位数为 7 的倍数;截末三位数后所剩新数与末三位数,大数减小数,所得数为 7 的倍数(针对数位较多的数)。

3. (2023 河南 ZZD2SY 中学)六位数 2003□□是 99 的倍数,则最后两位数是______76。

答案： 76 【解析】当六位数为 200300 时 200300÷99=2023……23,2024×99=200376,2025×99=200475,说明该六位数为 99 的 2024 倍,所以该六位数为 200376,最后两位数为 76。

4. (2024 陕西 GDFZ)在一个七位整数中,任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数,则这个七位数最大是______9884737。

答案： 9884737 【解析】三位数中能被 11 整除的最大数为 990,能被 13 整除的最大数为 988,由于后面的两个数位都会做首位,因此不能有 0,前三位只能为 988,大于等于 880 且小于等于 889 的能被 11 或 13 整除的最大数为 884,依此推理,最大的七位数为 9884737。

5. (2023 陕西 GXYZ)在右图的算式中,相同字母表示相同数字,不同字母表示不同数字,如果 CHINA 所代表的五位数能被 24 整除,那么这个五位数是______。

17208

答案： 17208 【解析】显然 C=1,K=9,且百位向千位进 1,因为在十位上,N=9(个位向十位进 1),或 N=0,由于 K=9,所以 N=0。在百位上,由于百位向千位进 1,所以 O=5,6,7,8,试验:若 O=5,则 I=0,与 N=0 重复;若 O=6,则 I=2,由于 $\overline{20A}$ 被 8 整除,可推出 A=8,此时 G=4,由于 1+2+0+8=11,所以 H=7(1,4 已被取过);若 O=7,则 I=4,由于 $\overline{40A}$ 被 8 整除,可推出 A=8,此时 G=4,与 I=4 重复;若 O=8,则 I=6,由于 $\overline{60A}$ 被 8 整除,可推出 A=8 或 0,均重复。所以这个五位数是 17208。

6. (2023 陕西 ZD 中学)甲、乙两个小队的同学去植树,甲小队有一人植树 12 棵,其余每人都植树 13 棵;乙小队有一人植树 8 棵,其余每人都植树 10 棵,已知两小队植树棵数相等,且每小队植树的棵数都是四百多棵,乙小队有(B)人。
A.42
B.43
C.44
D.45

答案： B 【解析】根据题意,运用代入法。A. 若乙队有 42 人,(42-1)×10+8=418(棵),(418-12)÷13 结果除不尽,说明乙队 42 人不对,不符合题意;B. 若乙队有 43 人,(43-1)×10+8=428(棵),(428-12)÷13=32(人),符合题意;C. 若乙队有 44 人,(44-1)×10+8=438(棵),(438-12)÷13 除不尽,不符合题意;D. 若乙队有 45 人,则(45-1)×10+8=448(棵),(448-12)÷13 也除不尽,也不符合题意。

7. (2024 陕西 JDFZ)商店里有六箱货物,分别重 15、16、18、19、20、31 千克,两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客货物重量的 2 倍,那么商店剩下的一箱货物重量是______20千克。

答案： 20 【解析】已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客货物重量的 2 倍,则两人买的货物总重量能被(2+1)=3 整除,(15+16+18+19+20+31)÷3=39(千克)……2(千克),则未卖出的货物重量除以 3 余 2,仅 20 满足该要求。

8. (2023 陕西 BH 学校)小明问王老师的年龄,王老师说:“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和,所得的结果比我的年龄小两岁,”则王老师今年的年龄是39岁。

答案： 39 【解析】设这三个相同的数字为 a,则三个相同数字组成的三位数为(100a+10a+a),这三个数字的和为 3a,所以王老师今年的年龄是(100a+10a+a)÷3a+2=111a÷3a+2=37+2=39(岁)。

9. (2024 重庆 LJBS 中学改编)有一支参加阅兵的队伍正在进行训练,这支队伍的人数是 5 的倍数且不少于 1000 人,如果按每横排 4 人编队,最后少 3 人;如果按每横排 3 人编队,最后少 2 人;如果按每横排 2 人编队,最后少 1 人,请问,这支队伍最少有______人。
[答案]：1045 【解析】[2,3,4]=12,所以总人数可以表示为 12n+1,n 为正整数,因为 1000÷12=83……4,所以 n≥84,又因为 5 的倍数的特征是尾数为 0 或 5,且 12n+1 一定是奇数,所以总人数的尾数一定是 5,所以 n 的尾数只能是 2 或 7,所以 n 最小取 87,12n+1=12×87+1=1045,所以这支队伍最少有 1045 人。

答案： 1045 【解析】[2,3,4]=12,所以总人数可以表示为 12n+1,n 为正整数,因为 1000÷12=83……4,所以 n≥84,又因为 5 的倍数的特征是尾数为 0 或 5,且 12n+1 一定是奇数,所以总人数的尾数一定是 5,所以 n 的尾数只能是 2 或 7,所以 n 最小取 87,12n+1=12×87+1=1045,所以这支队伍最少有 1045 人。

10. (2023 陕西 TYZHB 学校)一个三位数除以 43,商是 a,余数是 b,则 a+b 的最大值是______64。

答案： 64 【解析】除数为 43,余数 b 最大为 42;被除数为 43a+b=43a+42=43(a+1)-1,所以被除数为 43 的倍数-1。因为 23×43=989,24×43=1032(四位数,不符合题意),所以当被除数是 988 时,a+b 的值最大,即 a+1=23,a=22,即 a+b 的最大值是 22+42=64。

11. (2021 陕西 TYZ)有一个自然数,用它除 226 余 a、除 411 余 a+1、除 527 余 a+2,则 a 是______19。

答案： 19 【解析】由题意得知,用此数除(411-1)余 a,除(527-2)余 a,即除 226、410、525 的余数相同,410-226=184,525-226=299,525-410=115,根据同余定理可知该自然数是 184,299,115 的最大公因数,(184,299,115)=23,226÷23=9……19,即 a=19。
解题技巧 同余定理:若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除。

12. (2024 陕西 JDFZ 少年班)甲、乙、丙三数分别为 526、539、705。某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍,A 除乙数所得余数与 A 除丙数所得余数的比是 2:3,那么 A 是______23。

答案： 23 【解析】因为 A 除甲数所得的余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍,所以乙数的 2 倍除以 A 所得的余数与甲数除以 A 所得余数相等。因此,A 是 539×2-526=552 的因数。同理,A 也是 539×3-705×2=207 的因数。因为 552 和 207 的最大公因数是 23,所以 A 是 23 的因数。因为甲数除以 A 所得余数至少是 2,所以 A 只能是 23。

13. (2024 陕西 GDFZ)两个数相除,商是 11,余数是 3,如果被除数和除数同时扩大到原来的 10 倍,此时的商是11,余数是30。

答案： 11 30 【解析】在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0 除外),商不变,但是余数也扩大或缩小相同的倍数,据此解答即可。

14. (2024 陕西 GX6C)一个数除以 5 的余数是 4,除以 7 的余数是 6,则这个数除以 35 的余数是______。34

答案： 34 【解析】由题意知,这个数除以 5 余 4,除以 7 余 6,即这个数加上 1 之后既可以被 5 整除,也可以被 7 整除。5 和 7 的最小公倍数是 35,所以这个数加上 1 之后也可以被 35 整除,所以这个数除以 35 的余数是 35-1=34。

15. (2024 河南 D4ZX)如果自然数 a,b,c 除以 14 都余 5,则 a+b+c 除以 14 得到的余数是1。

答案： 1 【解析】自然数 a、b、c 除以 14 都余 5,设 a=14x+5,b=14y+5,c=14z+5,即 a+b+c=14(x+y+z)+15,再除以 14,可得余数为 1。