《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

11. (2024 陕西 CDFZ)如图,平面上有25个点,每个点上都钉着钉子,形成5×5的正方形钉阵,现有足够多的橡皮筋,最多能套出( )种面积不同的正方形。

A.4
B.6
C.8
D.10

第11-15题
视频讲解

答案：
C [解析]如解图,最多能套出8种。

12. (2021 重庆 BS 中学)如图是正方形点子图,现要求在图中再选一个点D,使四边形ABCD成为一个梯形,则点D共有( )种选法。

A.2
B.3
C.4
D.5

答案：
C [解析]结合题目中给出的两条线段AB、BC,可以让AB成为梯形的一条底边,此时有两种不同的画法,如解图①,也可让BC成为梯形的一条底边，此时也有两种不同的画法如解图②。所在点D共有2+2=4(种)选法。

13. (2024 陕西 JDFZ)在所给的9×7的点子图中,横排和竖排每相邻两点间的长度均为1,以这些点为顶点的三角形称为网格三角形,请找出点M,使以A、B、M为顶点的网格三角形是直角三角形,且面积为4,这样的点M有个。

答案：
4 [解析]如解图所示，直角三角形ABM的面积为4,分三种情况:以点B为直角顶点,AB为一条直角边时，可得符合要求的点M₁,M₂;以点A为直角顶点,AB为一条直角边时，可得符合要求的点M₃,M₄;以顶点M为直角顶点,AB为一条斜边时，符合要求的点M不存在，所以这样的点M有4个。

14. (2020 陕西 TYZ)如图是一只蜘蛛在墙角织的网,连接图中黑点的蛛丝之间共有21个交点。

答案： 21 [解析]从图形可以看出，这个蜘蛛网的特点是左边竖着的上面第一个点和横着的最后一个点相连，竖着的上面第二个点和横着的倒数第二个点相连，交点的个数从左向右数分别有6个、5个、4个、3个、2个、1个。由此可知连接图中黑点的蛛丝之间共有6+5+4+3+2+1=21(个)。

15. (2024 陕西 GXYZ 东校区)如图的4×2的方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC面积相等且与△ABC有一条公共边的格点三角形一共有个。

答案：
5 [解析]当公共边是AB时,如解图①中的△ABC₁;当公共边为BC时,如解图②中的△A₁BC;当公共边为AC时,如解图③中的△AB₁C,△AB₂C,△AB₃C。所以与△ABC面积相等且有一条公共边的格点三角形一共有5个。

16. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)如图是一个未完成的大正方体,那么,还需要添加(B)个小正方体才能完成。

A.18
B.17
C.16
D.15
第16-18题
视频讲解

答案： B [解析]从下往上数，第一层不缺少正方体，第二层缺5个,第三层缺8个,第四层缺4个,共缺5 +8+4=17(个)。

17. (2023 陕西 GXYZ 博雅班)用1×1×2,1×1×3,1×2×2三种木块拼成了3×3×3的正方体。现有足够多的1×2×2木块,还有14块1×1×3木块。要拼成10个3×3×3的正方体,最少需要1×1×2的木块18块。

答案： 18 [解析]3×3×3的正方体的体积是27,是个奇数,而1×1×2,1×2×2的体积都是偶数,所以需要搭配1×1×3奇数数量的木块,且是奇数个,拼法分两种情况:①4块1×2×2+3块1×1×3+1块1×1×2;②5块1×2×2+2块1×1×2+1块1×1×3,因为需拼成10个3×3×3的正方体,且1×1×3只有14块,因此,其中8个按情况②拼,2个按情况①拼,共需2×8+2=18(块)。

18. (2021 陕西 CDFZ)如图是由若干个小正方体组成的。阴影部分是空缺的通道,一直通到对面。问:这个立体图形由多少个小正方体组成?

答案：
38 [解析]由题意知，阴影部分是空缺的通道，即中间有重复，则分层计数，从上往下分四层，画出每层的示意图进行计数即可。
解:从上往下分层计数，如解图所示:

共有正方体:13+6+6+13=38(个)。
答:这个立体图形由38个小正方体组成。
易错点拨本题容易忽略中间两层三个方向都有重合,会造成漏数，计数时最好画出每层示意图，做到不重不漏。