《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

28. (2023 陕西 GXYZ)如图,已知$AB= AC= 30$厘米,那么图中阴影部分的周长和面积各是多少?($\pi$取 3.14)

答案：
解：周长：以AB为直径的圆的周长：$3.14×30 = 94.2$(厘米)，以AB为半径的$\frac{1}{4}$圆的弧长：$\frac{1}{4}×(30×2×3.14) = 47.1$(厘米)，阴影部分的总周长：$94.2 + 47.1 = 141.3$(厘米)。
　　　　　　　　　　　　　　
面积：如解图，将图形进行割补，阴影部分的面积：$3.14×30^{2}÷4 - 30×30÷2 = 256.5$(平方厘米)。
答：阴影部分的周长为141.3厘米，面积为256.5平方厘米。

29. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)先做一个边长为 2 cm 的等边三角形,再以三个顶点为圆心,2 cm 为半径作弧,形成曲边三角形(如左图),再准备两个这样的图形,把一个固定住(如右图中的阴影部分),另一个围绕着它滚动(如右图),从顶点相接的状态下开始滚动,请问此图形滚动一周时经过的面积是多少$\text{cm}^2$?($\pi$取 3.14)

答案：
解：在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”。如解图，为了求出“莱洛三角形”滚动时一周时经过的面积，我们可以分2步来思考：
　　　　 　　　　　　
　　　　　图①
　　　 　　　　
　　　　　图③
　　　　　　　　第29题解图
第1步：如解图②所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，它滚动的这部分面积是以点A为圆心、2cm为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形，在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；
第2步：如解图③所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，它滚动的这部分面积是以点C为圆心、4cm为半径、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积减去半径为2cm、圆心角为$60^{\circ}$的扇形面积。
综上所述，去掉解图④中间的“莱洛三角形”后所形成的组合图形的面积就是我们要求的面积。所以滚动一周时经过的面积是$3×(π×2^{2}×\frac{60}{360}) + 3×(π×4^{2}×\frac{60}{360} - π×2^{2}×\frac{60}{360}) = 8π = 25.12(cm^{2})$。
答：经过的面积为$25.12cm^{2}$。

30. (2023 陕西 TYZ)如图是一块矩形的场地$ABCD$,长$AB= 42$米,宽$AD= 25$米,从$C,D$两处入口的路宽都是 1 米,两条小路的汇合处路宽是 2 米,其余部分种草坪。则草坪的面积是960平方米。

答案： 960 【解析】利用平移法可知，草坪是一个长为42 - 2 = 40(米)，宽为25 - 1 = 24(米)的长方形，那么种植草坪的面积为40×24 = 960(平方米)。

31. (2023 陕西 JDFZ)下图中空白四边形是正方形,求图中阴影部分的面积。(提示:你能把两个阴影三角形合成一个三角形吗?)

答案：
解：如解图，把三角形ADE绕点E顺时针旋转$90^{\circ}$，使点D与点F重合，使两部分阴影面积拼成一个三角形的面积，根据三角形的面积公式：$S = ah÷2$，把数据代入公式解答。
　　　　　　　　　　　　　
解：如解图进行变换后，阴影部分的面积为：$7×4÷2 = 14(cm^{2})$。
答：阴影部分的面积是$14cm^{2}$。

32. (2024 数学 GXYZL 学校)如图所示的四边形的面积等于多少?

答案： 解：$12×12 = 144$。
答：四边形的面积是144。