《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

12. (2021陕西TYZ)有一列数字按0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,…,的规律排列,即在0与0之间有1个1,2个1,3个1,…,若前m个数字的和恰好是110,则m等于______。125

答案： 125【解析】观察数列可得,前m个数字之和为$1+2+3+\cdots +n$,因为$1+2+\cdots +14=105$,即当$n=14$时,还需加上5个1才可使前m个数字和为110,所以$m=14+105+1+5=125$。

13. (2024陕西GXYZ)自然数数列1,2,3,…,n,…,依次分组,它的第n组含有$(2n-1)$个数,则第10组中所有数的和是______1729。

答案： 1729【解析】由题意得,第9组共有$2×9-1=17$个数,第10组共有$2×10-1=19$个数,第9组最后一个数为$1+3+5+\cdots +17=81$,则第10组第一个数为82,最后一个数为$82+19-1=100$,所有数的和为$(82+100)×19÷2=1729$。

14. (2024重庆HF8Z)按一定规律排列的代数式:$-4a^{2},9a^{4},-16a^{6},25a^{8},-36a^{10},49a^{12}...$第n个代数式是______。

答案： $(-1)^{n}(n+1)^{2}a^{2n}$

15. (2023陕西JDFZ)加法算式1+2,2+5,3+8,1+11,2+14,3+17…是按一定规律排列的,第35个加法算式是______2+104。

答案： $2+104$

16. (2021陕西TYZ)已知:$C_{3}^{2}= \frac{3×2}{1×2}= 3,C_{5}^{3}= \frac{5×4×3}{1×2×3}= 10,C_{6}^{4}= \frac{6×5×4×3}{1×2×3×4}= 15,...$,观察上面的计算过程,寻找规律并计算$C_{10}^{6}= $210。

答案： 210【解析】对于$C_{a}^{b}(b\lt a)$来讲,分母是从1到b的b个连续整数的乘积,分子是从a开始乘,乘到$a-b+1$,共b个数相乘,因此按其规律是$C_{10}^{6}=\frac{10×9×8×7×6×5}{1×2×3×4×5×6}=210$。

17. (2021陕西GXYZ)我们把分子为1的分数叫做单位分数,如$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...$,任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和,如$\frac{1}{2}= \frac{1}{3}+\frac{1}{6},\frac{1}{3}= \frac{1}{4}+\frac{1}{12},\frac{1}{4}= \frac{1}{5}+\frac{1}{20},...$,根据对上述式子的观察,你会发现$\frac{1}{6}= \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$,请写出m=7,n=42。

答案： 7 42【解析】观察算式可知,从左到右有3个分数,前两个分数的分母是连续的两个自然数,第三个分数的分母为前两个分数的分母的积,所以$\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$,故$m=7,n=42$。

18. (2024陕西JDFZ)观察下列等式的规律填空:
$(x-1)(x+1)= x^{2}-1$
$(x-1)(x^{2}+x+1)= x^{3}-1$
$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)= x^{4}-1$
$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)= x^{5}-1$
那么$4^{9}+4^{8}+4^{7}+... +4^{2}+5= $$\frac{4^{10}-1}{3}$。

答案： $\frac{4^{10}-1}{3}$【解析】$4^{9}+4^{8}+4^{7}+\cdots +4^{2}+5=1+4+4^{2}+4^{3}+\cdots +4^{7}+4^{8}+4^{9}=\frac{(4-1)×(1+4+4^{2}+\cdots +4^{8}+4^{9})}{3}=\frac{4^{10}-1}{3}$。

19. (2023陕西HZ中学)
$3×6= 18$,
$33×66= 2178$,
$333×666= 221778$,
$3333×6666= 22217778$,
……
$\underbrace{333... 3}_{2022个3}×\underbrace{666... 6}_{2022个6}$的积里有2021个2,1个8。

答案： 2021 1【解析】观察可得规律,第一个因数有2个3,积里面有$(2-1)$个2,第一个因数有3个3,积里面有$(3-1)$个2,…;第二个因数里面有2个6,积里面就有$(2-1)$个7,第二个因数里面有3个6,积里面就有$(3-1)$个7…根据规律分析可得,2022-1=2021(个),$\underset{2022个3}{\underbrace{333\cdots 3}}× \underset{2022个6}{\underbrace{666\cdots 6}}$的积里有2021个2,1个8。

20. (2024陕西GDFZ)在某个星期中,从星期一到星期五这五天的日历号数之和为70,则这周星期六的日历号数是(B)
A.18
B.17
C.16
D.15

答案： B【解析】设星期三的日历号数为x,则星期一为$(x-2)$,星期二为$(x-1)$,星期四为$(x+1)$,星期五为$(x+2)$,根据题意可得$x-2+x-1+x+x+1+x+2=70$,解得$x=14$,则星期六的日历号数为$14+3=17$。