《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

7. (2024 陕西 TYZ)已知如图①,M 是定长线段 AB 上一定点,C、D 两点分别从 M、B 出发以 1 cm/s、3 cm/s 的速度沿直线 BA 向左运动,运动方向如箭头所示。(C 在线段 AM 上,D 在线段 BM 上)
(1)若$AB= 20cm$,当点 C、D 运动了 2s,求$AC+MD$的值。
(2)若点 C、D 运动时,总有$MD= 3AC$,直接填空:$AM= $______$BM$。
(3)若$AM= \frac {1}{4}AB$,N 是直线 AB 上一点,且$AN-BN= MN$,求$\frac {MN}{AB}$的值。

(1)12cm
(2)$\frac{1}{3}$
(3)$\frac{1}{2}$或1

答案： 解:
(1)当点C、D运动了2s时,CM=2cm,BD=6cm,因为AB=20cm,CM=2cm,BD=6cm,所以AC+MD=AB−CM−BD=20−2−6=12cm。
(2)$\frac{1}{3}$[解析]设运动时间为t,则CM=t,BD=3t,因为AC=AM−t,MD=BM−3t,又因为MD=3AC,所以BM−3t=3AM−3t,即BM=3AM所以AM=$\frac{1}{3}$BM,故答案为$\frac{1}{3}$。
(3)当点N在线段AB上时,如解图①:因为AN−BN=MN,又因为AN−AM=MN,所以BN=AM=$\frac{1}{4}$AB,所以MN=$\frac{1}{2}$AB,即$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$。当点N在线段AB的延长线上时,如解图②:因为AN−BN=MN,又因为AN−BN=AB,所以MN=AB,即$\frac{MN}{AB}$=1,综上所述，$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$或1。第7题解图①第7题解图②

8. (2023 陕西 TYZ)如图①,四边形 ABCD 中,$AB// CD,∠ADC= 90^{\circ }$。
(1)动点 M 从 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿路线 A→B→C→D 运动到点 D 停止。设运动时间为 a,$△AMD$的面积为 S,S 关于 a 的关系图象如图②所示,求 AD,CD 的长。
(2)在(1)的条件下,如图③,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位的速度沿路线 A→D→C 运动到点 C 停止。同时,动点 Q 从点 C 出发,以每秒 5 个单位的速度沿路线 C→D→A 运动到点 A 停止。设运动时间为 t 秒,当 Q 点运动到 AD 边上时,连接 CP,CQ,PQ,当$△CPQ$的面积为 8 时,求 t 的值。

答案： 解:
(1)由图象可知,点M从点C到D耗时:36−20=16(秒),即CD=16,此时S=$\frac{1}{2}$×CD·AD=$\frac{1}{2}$×16×AD=96,解得AD=12,所以AD=12,CD=16。
(2)由
(1)可知AD+CD=28,由题意得,当点Q运动到AD边上时,此时有以PQ为底边,CD为高的△CPQ,AP=2t,DQ=5t−16,而$\frac{16}{5}$≤t＜14。分以下三种情况讨论:情况一:点P,Q都在AD边上,当点P在点Q上方时,则PQ=AD−AP−QD=12−2t−5t+16=28−7t,S△CPQ=$\frac{1}{2}$×PQ×CD=$\frac{1}{2}$×(28−7t)×16=8,解得t=$\frac{27}{7}$(满足条件);情况二:点P,Q都在AD边上,当点P在点Q下方时,PQ=DQ−(AD−AP)=5t−16−(12−2t)=7t−28,S△CPQ=$\frac{1}{2}$×PQ×CD=$\frac{1}{2}$×(7t−28)×16=8,解得t=$\frac{29}{7}$(满足条件);情况三:当点P在CD边上,点Q运动到点A时，S△CPQ=$\frac{1}{2}$×(28−2t)×12=8,解得t=$\frac{40}{3}$(满足条件)。综上所述,t=$\frac{27}{7}$或$\frac{29}{7}$或$\frac{40}{3}$。

9. (2022 陕西 GDFZ)如图所示,小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动。小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段 OA 围绕着 O 点旋转了( C )圈。(O 点是小正六边形的中心)
A.4
B.5
C.3
D.6

答案： C[解析]60×6+120×6=1080(度),1080÷360=3(圈)。

10. (2023 陕西 GDFZ)有一个边长为 6 厘米的等边三角形,现将三角形沿水平方向翻滚,如图所示,那么 B 点从开始到结束所经过的总长度为8π厘米。(保留 π)

答案： 8π厘米[解析]B点的运动轨迹为2个半径是6厘米，圆心角为120°的圆弧:2×$\frac{120}{360}$×π×6×2=8π(厘米)。

11. (2024 陕西 TYZBH 学校)如图,一直径为 20 厘米的圆形纸片在一个足够大的正方形内任意移动,这张圆形纸片不可能接触到部分的面积是______平方厘米。(π 取 3.14)

答案：
86[解析]如解图,圆的直径是20厘米,圆的半径是20÷2=10厘米,小正方形的边长等于圆的半径，不可能接触到部分的面积为(10×10−3.14×10²×$\frac{1}{4}$)×4=86(平方厘米)。