《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

1. (2024 陕西 XYQD 中学)有 3 个连续奇数,其中最小的奇数是 n,则这 3 个奇数的和是
(B)
A.3(n+1)
B.3(n+2)
C.3(n+6)
D.3n

答案： B

2. (2023 重庆 YW)已知三角形两条边长分别为 2、9,又知周长是偶数,那么第三边是
(C)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： C

3. (2022 陕西 JDFZ)已知 a、b、c 都是整数,则下列三个数$\frac {a+b}{2},\frac {b+c}{2},\frac {c+a}{2}$中,整数的个数
(A)
A.至少有 1 个
B.仅有 1 个
C.仅有 2 个
D.3 个

答案： A 【解析】整数分为奇数和偶数,题中的三个数可能是3个奇数、1个偶数2个奇数、2个偶数1个奇数和3个偶数四种情况,从中任选两个求平均数,可得结果分别是3个整数、1个整数、1个整数和3个整数,所以至少有1个整数。

4. (2023 重庆 8Z)有五个连续偶数,最大的偶数是最小的偶数的 2 倍,则最小的偶数是8

答案： 8

5. (2023 陕西 TYZ)用数字 0,1,2,3,4,5,6 可以组成420个无重复数字的四位偶数。

答案： 420 【解析】根据题意,分2种情况讨论:①0在个位,在1,2,3,4,5,6这6个数字中任选3个,安排在前三个数位,有6×5×4=120(个)四位偶数;②0不在个位,需要在2、4、6三个数字中任选1个,安排在个位,有3种情况,在除0和个位数字之外的5个数字中,任选1个,安排在首位,有5种情况,在剩余的5个数字中任选2个,安排在中间两个数位,有5×4=20(种)情况,则有3×5×20=300(个)四位偶数;则一共可以组成120+300=420(个)无重复数字的四位偶数。

6. (2024 陕西 TYZBH 学校)一个数分别与相邻的两个奇数相乘,得到的两个乘积的差是 80,则这个数40

答案： 40 【解析】设这个数是a,相邻的两个奇数是b和c(b＞c),则b-c=2,那么ab-ac=a(b-c)=2a,2a=80,则a=40。

7. (2021 陕西 TYZ)对任意的三个整数
(D)
A.它们的和是偶数的可能性小
B.它们的和是奇数的可能性小
C.其中必有两个数的和是奇数
D.其中必有两个数的和是偶数

答案： D 【解析】三个整数出现的奇偶情况如下:3奇、2奇1偶、1奇2偶、3偶,它们的和分别为奇、偶、奇、偶,和是奇数与和是偶数的可能性相同,故A,B选项错误;如果三个数都是偶数,两数相加结果不可能是奇数,C选项错误。故选D。

8. (2024 陕西 TYZBH 学校)算式$1+2+3+4+... +2009+2010$的得数是奇数。(填"奇"或"偶")

答案： 奇 【解析】这个算式中共有奇数和偶数各2010÷2=1005(个),因为偶数+偶数=偶数,所以1005个偶数的和为偶数,因为奇数+奇数=偶数、偶数+奇数=奇数,所以1005个奇数的和为奇数,最后偶数+奇数=奇数,所以这个算式的得数是奇数。

9. (2021 陕西 TYZ)若按奇偶性分类,则$1×1+2×2+3×3+... +2017×2017$是奇数。

答案： 奇 【解析】因为奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,所以算式中有1009个积是奇数,1008个积是偶数,又因为1008个偶数相加的和是偶数,1009个奇数相加的和是奇数,奇数+偶数=奇数,所以结果是奇数。

10. (2024 陕西 TYZ 改编)从 7,8,9,…,35,36,37 这 31 个数中,选取不同的两个数,使其积为偶数的选法有345种,积为奇数的选法有120种。

答案： 345 120 【解析】这31个数中有奇数16个,偶数15个,要使得选取的两个数的积为偶数,则选取的两个数可以为奇数和偶数也可以为偶数和偶数,从15个偶数中任选两个,有15×14÷2=105种选法,从16个奇数中任选一个,从15个偶数中任选一个,有15×16=240种选法,共105+240=345种选法;要使选取的两个数积为奇数,则选取的两个数都是奇数,从16个奇数中任选两个,有16×15÷2=120种选法。

11. (2024 陕西 JDFZ 少年班)黑板上写着乘积$a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... \cdot a_{2015}$,其中$a_{1},a_{2},... ,a_{2015}$都是正整数,如果将其中的一个乘号改为加号(保持其余乘号),我们发现在所得的 2014 个和数中有 301 个是偶数,则在$a_{1},a_{2},...,a_{2015}$中至多有302个偶数。

答案： 302 【解析】将第一个乘号改为加号,得到a₁+a₂···a₂₀₁₅,将第二个乘号改为加号,得到a₁·a₂+a₃···a₂₀₁₅,依次可以得到2014个算式和,由题意,其中301个为偶数。若a₁,a₂,···,a₂₀₁₅都是奇数,则所得的2014个和数都是偶数;若a₁,a₂,···,a₂₀₁₅中只有一个是偶数,则所得的2014个和数都是奇数,因此a₁,a₂,···,a₂₀₁₅中至少有2个偶数。设a₁,a₂,···,a₂₀₁₅中,从前往后,第一个偶数为aₘ,最后一个偶数为aₙ,aₘ~aₙ中任何一个乘号改为加号,得到的和数为偶数;a₁~aₘ中任何一个乘号改为加号,得到的和数为奇数;aₙ~a₂₀₁₅中任何一个乘号改为加号,得到的和数为奇数。因为所得的2014个和中有301个是偶数,所以aₘ~aₙ中有301个乘号,aₘ~aₙ共有301+1=302个数,在a₁,a₂,···,a₂₀₁₅中至多有302个偶数。

12. (2021 陕西 TYZ)黑板上写有从 1 开始的若干个连续的奇数:1,3,5,7,9,11,…,擦去其中的一个奇数后剩下的所有奇数的和是 1998,那么,擦去的奇数是B
A.25
B.27
C.23
D.29

答案： B 【解析】从1开始的若干个连续的奇数为等差数列,因为擦去其中一个奇数后,剩下的所有奇数之和为1998,则原等差数列的和为奇数,奇数列从1加到2n-1的和为(1+2n-1)×n÷2=n²＞1998,又因为44²=1936＜1998,45²=2025＞1998,所以被擦去的奇数为2025-1998=27。

13. (2021 陕西 GXYZ)已知非零自然数 m 和 n 满足$2m+3n= 9$,则$m+n=$4

答案： 4 【解析】先根据奇偶性来判断,2m+3n=9中,2m一定为偶数,因为偶数+奇数=奇数,所以3n为奇数,即n为奇数,故n可以为1,3,5,7,···,根据题目要求m,n均为非零自然数,故n只能等于1,当n=1时,m=3,则m和n的和为3+1=4。

14. (2024 河南 ZZ4Z 改编)下列说法正确的是
(C)
A.所有奇数都是质数,所有偶数都是合数
B.自然数分为质数和合数两种
C.质数与合数的积一定是合数
D.两个奇数的和一定是合数

答案： C