《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

7. (2024 陕西 JDFZ)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,作为第一层记为$S_1= 1,$第二层每边有两个点,点的总个数记为$S_2= 7,$第三层每边有三个点,点的总个数记为$S_3= 19,…,$依次类推,那么第六层点阵的总点数$S_6$为91。

答案： 91

8. (2023 陕西 JDFZ)如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作$a_1= 1,$第2个五角形数记作$a_2= 5,$第3个五角形数记作$a_3= 12,$第4个五角形数记作$a_4= 22,…,$若按此规律继续下去,则$a_1₀₀-a_9_9= $298。

答案： 298

9. (2023 陕西 CXJDFZ)如图是铅笔的截面图,中间1支铅笔,从外面围住它第一周需用6支铅笔,用一样的铅笔可在它外面围上第2周,第3周,第4周……那么围5周共用90支铅笔。(不计中间1支铅笔)

答案： 90

10. (2022 陕西 TYZ)图中的圆均为等圆,圆心连线构成等边三角形,各阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3,…,Sₙ,$则$S_1_6:S_4$的值是 25:7。

答案： 25:7【解析】假设图中每个小圆的半径为 r,第一个图形中阴影部分的面积为$\frac{300}{360}πr^{2}×3=\frac{5}{2}πr^{2}$。观察图形可得后一个图形阴影面积比前一个图形多 3 个半圆,即多$\frac{1}{2}πr^{2}×3=\frac{3}{2}πr^{2}$,所以第 2 个图形中阴影部分面积为$\frac{5}{2}πr^{2}+\frac{3}{2}πr^{2}×(2-1)$,第 3 个图形中阴影部分面积为$\frac{5}{2}πr^{2}+\frac{3}{2}πr^{2}×(3-1)$,则$S_{16}=\frac{5}{2}πr^{2}+\frac{3}{2}πr^{2}×(16-1)=25πr^{2},S_{4}=\frac{5}{2}πr^{2}+\frac{3}{2}πr^{2}×(4-1)=7πr^{2},S_{16}:S_{4}=25πr^{2}:7πr^{2}=25:7$。

11. (2024 陕西 QA 学校)在同一平面上有5条直线,则这5条直线最多有(B)个交点。
A.8
B.10
C.12
D.14

答案： B

12. (2024 陕西 SDFZ)平面上6条直线最多能把圆的内部分成22部分;平面上100条直线最多能把圆的内部分成5051部分。

答案： 22 5051【解析】假设用$a_{n}$表示n条直线最多能把圆的内部分成的部分,这里$n=0,1,2,... ,a_{0}=1,$$a_{1}=1+1=2,a_{2}=2+2=4,a_{3}=4+3=7,a_{4}=7+4=11,$$a_{5}=11+5=16,a_{6}=16+6=22... $则n条直线最多能将圆的内部分成$1+1+2+3+4+5+6+... +n=1+\frac{n(n+1)}{2}$部分,所以 100 条直线最多能把圆内部分成:$a_{100}=1+\frac{100×101}{2}=5051$(部分)。

13. (2024 陕西 SDFZ)多边形对角线的数量与它的边数有密切关系,四边形有2条对角线,五边形有5条对角线,六边形有9条对角线,…,则n边形有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。

答案： $\frac{n(n-3)}{2}$【解析】在边数大于 3 的n边形中,以一个顶点为例,除了它自身以及左右与它相邻的两个顶点外,这一顶点与其他各顶点都可画出对角线,即过n边形的一个顶点可画出$(n-3)$条对角线,因为n边形共有n个顶点,所以一共可画出$n(n-3)$条对角线。由于每条对角线连接两个顶点,故均算了两次,因此n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。

14. (2024 陕西 JDFZ)如图,给正方形的四个顶点标上数字1,1,2,3,记作第一个正方形,依次取各边中点,标上所在边两端点数字和的一半,为1,$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$,2,顺次连接这四个点,得到一个新的正方形,记作第二个正方形,照此规律做下去,则前10个正方形各顶点数字和为 70。

答案： 70【解析】第一个正方形四个顶点数字的和为$1+1+2+3=7$;第二个正方形四个顶点数字的和为$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+2=7$;第三个正方形四个顶点数字的和为$\frac{5}{4}+2+\frac{9}{4}+\frac{3}{2}=7$。前 10 个正方形各顶点的数字和为$7×10=70$。