《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

15. (2023 陕西 GDFZ)我们规定一种运算“*”,$*2= 1×2×3$,$*3= 2×3×4$,$*4= 3×4×5$,…,如果$\frac {1}{*7}-\frac {1}{*8}= \frac {1}{*8}×\triangle$,那么$\triangle=$$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$ 【解析】先将等式化简,把$*8$看作一个整体,等式两边同时乘$*8$,得$\Delta=\frac{*8}{*7}-1=\frac{7×8×9}{6×7×8}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。

16. (2024 陕西 TYZ)将一个数进行如下反复四舍五入的操作,从最低位开始,直到某次操作后,只剩最高位,且其他数位都是 0 为止,例如:$1546.47→1546.5→1547→1550→1600→2000$,记为$T(1546.47)= 2000;T(6)= 6$。利用这种操作解决下列问题:
(1)计算:$T(234.5)= $______200,$T(144.5)= $______200。
(2)使得$T(x)= 100$的整数 x 有多少个?
50个
(3)将一个数直接从第二高位进行一次四舍五入的操作记为 F 操作。例如:$F(1487)= 1000;F(6)= 6$。请问:$T(1)+T(2)+T(3)+… +T(999)+T(1000)和F(1)+F(2)+F(3)+… +F(999)+F(1000)$作比较,谁更大?大多少?
T更大，大4500

答案：
(1)200 200 【解析】$234.5→235→240→200$;$144.5→145→150→200$。
(2)使$T(x)=100$的三位数有:$100\leftarrow100\sim140\leftarrow100\sim144$,使$T(x)=100$的两位数有:$100\leftarrow95\sim99$,故共50个。答:使$T(x)=100$的整数$x$有50个;
(3)$T$更大,大4500。理由如下:会使$T$操作与$F$操作结果不符的原因就是在$T$的前期操作中使第二高位由4变成了5。一位数、两位数的$T$操作都只进行一次操作,和$F$操作必然无区别;三位数的$T$操作在个位进十位会出问题的后两位只有45~49,从而使结果比$F$操作大100,这样的数有$9×5 = 45$个,所以导致$T$操作比$F$操作共大4500;而1000的$T$操作与$F$操作无区别,综上,$T$操作更大,大4500。

17. (2024 陕西 JDFZ)我们规定:$a◯ b= a×(a+1)×… ×(a+b-1)$。已知$x◯ y◯ 2= 420$,那么$y◯ x= $______。

答案： 20!或120

18. (2024 陕西 TYZ 改编)x,y 表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:$x*y= mx+ny$,$x\triangle y= kxy$,其中 m,n,k 均为自然数,已知$1*2= 5$,$(2*3)\triangle 4= 64$,则$(1\triangle 2)*3= $10。

答案： 10 【解析】由$1*2 = 5$,得$1*2=m×1 + n×2=m + 2n$,即$m + 2n=5$,因为$m$、$n$均为自然数,那么$m = 1$,$n = 2$或者$m = 3$,$n = 1$。①当$m = 1$,$n = 2$时,$(2*3)\triangle4=(1×2 + 2×3)\triangle4=8\triangle4=k×8×4=32k$,$32k = 64$,$k = 2$;②当$m = 3$,$n = 1$时,$(2*3)\triangle4=(3×2 + 1×3)\triangle4=9\triangle4=k×9×4=36k$,$36k = 64$,没有自然数解,所以这种情况不成立,所以$m = 1$,$n = 2$,$k = 2$,那么$x*y=x + 2y$,$x\triangle y=2xy$,所以$(1\triangle2)*3=(2×1×2)*3=4*3=4 + 2×3=10$。

19. (2024 陕西 TYZBH 学校)把一个自然数分解质因数,若所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和,则称这样的数为“史密斯数”。如:$27= 3×3×3$,3+3+3= 2+7,即 27 是史密斯数,那么,在 4,32,58,65,94 中,史密斯数有(C)个。
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C 【解析】$4 = 2×2$,$2 + 2 = 4$符合条件,是史密斯数,32=2×2×2×2×2,2+2+2+2+2≠3+2,不符合条件,不是史密斯数;58=2×29,2+2+9=5+8,符合条件,是史密斯数;65=5×13,5+1+3≠6+5,不符合条件,不是史密斯数;94=2×47,2+4+7=9+4,符合条件,是史密斯数,综上所述,史密斯数有3个。

20. (2023 陕西 GDFZ)若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”(如$3= 2^{2}-1^{2},5= 3^{2}-2^{2}$),已知智慧数按照从小到大的顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,…,则第 100 个智慧数是______136。

答案： 136 【解析】根据规律可知,智慧数从小到大可按每三个数分为一组,从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数,归纳可得第$n$组的第一个数为$4n$($n\geq2$),$100÷3 = 33\cdots\cdots1$,所以第100个智慧数是第34组中的第1个数,即$4×34 = 136$。

21. (2024 陕西 GDFZ)对于一个四位自然数 M,若它的千位数字比个位数字多 6,百位数字比十位数字多 2,则称 M 为“天真数”。如:四位数 7311,∵7-1= 6,3-1= 2,∴7311 是“天真数”;四位数 8421,∵8-1≠6,∴8421 不是“天真数”,一个“天真数”M 的千位数字为 a,百位数为 b,十位数字为 c,个位数字为 d,记$P(M)= 3(a+b)+c+d,Q(M)= a-5$,若$\frac {P(M)}{Q(M)}$能被 10 整除,则满足条件的 M 的最大值为______9313。

答案： 9313 【解析】根据题意得$a - d = 6$,$b - c = 2$,其中$6\leq a\leq9$,$2\leq b\leq9$,则$(a - d)+(b - c)=6 + 2$,所以$c + d=(a + b)-8$,所以$P(M)=3(a + b)+c + d=4(a + b)-8$,当$a = 9$时,$\frac{P(M)}{Q(M)}=\frac{4(9 + b)-8}{9 - 5}=7 + b$,因为$\frac{P(M)}{Q(M)}$能被10整除,$2\leq b\leq9$,所以$b = 3$,所以满足条件的$M$的最大值为9313。