《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

8. (2023陕西TYZ)数学期望是描述概率事件的一种重要工具,比如一个标准的骰子六个面,每个面写1到6这六个数之一,扔一次骰子每个面出现的概率都是$\frac {1}{6}$,它的数学期望为$E= \frac {1}{6}×1+\frac {1}{6}×2+\frac {1}{6}×3+\frac {1}{6}×4+\frac {1}{6}×5+\frac {1}{6}×6= \frac {7}{2}$。
(1)一个运动员打靶,他命中10环的概率为0.1,9环的概率为0.2,8环的概率为0.4,7环的概率为0.3,问他打靶的期望为多少?
(2)在A中学和B中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛,A中学候选人为3男2女,B中学候选人为2男4女,问:A中学入选人数的期望是多少?

答案： 8.解:
(1)运动员打靶的期望为E=0.1×10+0.2×9+0.4×8+0.3×7=8.1。
答:他打靶的期望为8.1。
(2)A中学入选人数为0人的概率是$\frac{2×4}{5×6}$=$\frac{8}{30}$=$\frac{4}{15}$,
A中学入选人数为1人的概率是$\frac{3×4+2×2}{5×6}$=$\frac{12+4}{30}$=$\frac{8}{15}$,A中学入选人数为2人的概率是$\frac{3×2}{5×6}$=$\frac{6}{30}$=$\frac{1}{5}$,所以A中学入选人数的期望为E=$\frac{4}{15}$×0+$\frac{8}{15}$×1+$\frac{1}{5}$×2=$\frac{14}{15}$。
答:A中学入选人数的期望是$\frac{14}{15}$。

(1)判断对错,正确的请在后面的括号内画√,错误的请在后面的括号内画×。
①$\{ 20.16\} = 20$(×)
②$[10.07]= 10$(√)
③$\{ 6.489\} = 0.489$(√)
④$[7.89]= 8$(×)
(2)$[\frac {1}{10}],[\frac {2}{9}],[\frac {3}{8}],[\frac {4}{7}],[\frac {5}{6}],[\frac {6}{5}],[\frac {7}{4}],[\frac {8}{3}],[\frac {9}{2}],[\frac {10}{1}]$这组数中有3个数大于1。
(3)如果$a+[b]= 19.7,\{ a\} +b= 7.9$,那么$a= $12.7。
(4)如果正整数n满足$[\frac {n}{2}]+[\frac {n}{3}]+[\frac {n}{4}]+[\frac {n}{5}]+[\frac {n}{6}]= 36$,那么$n= $26。

答案： 9.解:
(1)①× ②√ ③√ ④×
(2)3 [解析]这组数依次是0,0,0,0,0,1,1,2,4,10,所以有3个数大于1。
(3)12.7 [解析]由a+[b]=19.7可得,a的小数部分即{a}=0.7,再由{a}+b=7.9可得,b=7.2,所以a=12.7。
(4)26 [解析]根据高斯记号定义有[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+[$\frac{n}{4}$]+[$\frac{n}{5}$]+[$\frac{n}{6}$]≥36,解得n≥24$\frac{24}{29}$。当n=25时,12+8+6+5+4=35,不符合题意;当n=26时,13+8+6+5+4=36,符合题意;当n=27时,13+9+6+5+4=37,不符合题意,所以当n＞26时，[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+[$\frac{n}{4}$]+[$\frac{n}{5}$]+[$\frac{n}{6}$]＞36,所以n=26。

10. (2024陕西GXYZ博雅班)【阅读理解】设集合$N_{n}= \{ 1,2,3,...,n\}$,定义从集合$N_{n}到另一个集合N_{n}$的一一对应关系F为$N_{n}$上的一个置换,通常表示为$F= $$\begin{pmatrix} 1&2&… &n\\ f(1)&f(2)&… &f(n)\end{pmatrix} $,其中$f(1),f(2),… ,f(n)$是1到n的一个排列,分别表示1,2,…$$,n在置换F下对应的数字。
置换也可以看作是特殊的函数运算,例如$F= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix} 表示f(1)= 2,f(2)= 3,f(3)= 1$。
置换同样可以进行嵌套,运算结果依然为置换,运算规律与函数相同。置换F和置换G嵌套后写作$(F\cdot G)$,其运算规则为$(F\cdot G)(x)= f(g(x))$。
(1)设$F= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&2&4&1\end{pmatrix} ,G= \begin{pmatrix} 2&1&3&4\\ 1&2&3&4\end{pmatrix} $,请计算$(F\cdot G)$。
轮换:设F是$N_{n}$上的一个置换,$a_{1},a_{2},… ,a_{n}$是1,2,…$$,n的一个排列。对某个正整数$k≤n$,若$f(a_{1})= a_{2},f(a_{2})= a_{3},… ,f(a_{k-1})= a_{k},f(a_{k})= a_{1}$[其中$k＜n$时,要求$f(a_{k+1})= a_{k+1},f(a_{k+2})= a_{k+2},… ,f(a_{n})= a_{n}$],则称F为一个k阶轮换,记为$(a_{1}a_{2}… a_{k})或(a_{2}a_{3}… a_{k}a_{1})$或…或$(a_{k}a_{1}a_{2}… a_{k-1})$。
例如$N_{5}$上的下列置换为一个3阶轮换:$F= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 1&4&3&5&2\end{pmatrix} = (245)= (452)= (524)$。
注意:并非每一个$N_{n}$上的置换都是轮换,例如$N_{5}上的F= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 3&4&1&5&2\end{pmatrix} $就不是一个轮换,但是可写为两个轮换的乘积$F= (13)(245)$。
(2)设置换$G= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 9&7&6&2&1&3&4&5&8\end{pmatrix} $,请将G表示为轮换的乘积。

答案： 10.解:
(1)当x=1时,(F·G)=f(g
(1))=f
(2)=2,
当x=2时,(F·G)=f(g
(2))=f
(1)=3,
当x=3时,(F·G)=f(g
(3))=f
(3)=4,
当x=4时,(F·G)=f(g
(4))=f
(4)=1。
(2)若第一行中取1,其第二行对应数字为9,则第一行中下个数字需取9,9在第二行对应数字为8，则第一行中下个数字需取8,8在第二行对应数字为5,则第一行下个数字需取5,5在第二行对应数字为1,即形成闭环。
取下一组数:若第一行取2,其第二行对应数字为7,则第一行中下个数字需取7,7在第二行对应数字为4,则第一行中下个数字需取4,4在第二行对应数字为2,即形成闭环。
第一行剩3,6且形成闭环。
故G=
(1985)
(274)
(36)。(答案不唯一)