《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

23. (2024 陕西 JDFZ)我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念。如图是一个最简的二阶幻圆的模型,将一些数字分别填入图中的圆圈内。要求:①外、内两个圆周上的四个数字之和相等;②外圆两直径上的四个数字之和相等,请你求图中外、内两个圆周上两空白圆圈内应填写的数字从左至右分别是4和7

答案： 47　[解析]内圈上的数字之和为$3 + 6 + 9 = 18$，外圈上的数字之和为$2 + 8 + 11 = 21$，相差3，而外圆直径上的数字之和分别为$2 + 3 + 9 + 11 = 25$，$6 + 8 = 14$，相差11，所以两个空白圆圈上的数字之和为11，数字之差为3，可验证得:从左至右分别为4，7。

24. (2020 成都 TFQZ)据说美国有一位铁路职工花了 50 余年的业余时间,研究得到了一个六角形幻方,如图所示的每一个圆中分别填写了 1,2,…,19 中的一个数(不同的圆中填写的数各不相同),使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等,现在已知该图中七个圆内的数,则图中的$x= $

答案：
19　[解析]假设最右上角的圆中是$a$，则$15 + 13 + a=a + 12+$最右边的数，得到最右边的数是16，根据最左边的两边共有一个数及和相等，得到18左上方的数是$14 + 15−18 = 11$，然后根据各边数的和相等且为$28 + a$，将每个圆中的数都用$a$表示出来，如解图所示。因为这些数是1到19之间的数，可以得出$a$小于11，大于6。因为8已经有了，若为9，$9−4 = 5$，5已经有了；若为7，$12−7 = 5$，亦不可，故$a$只能是10，所以每一横或斜方向的数之和为38。因此$x = 38−16−3 = 19$。
　　　　　

25. (2024 陕西 GDFZ)在图中七个小圆圈中各填入一个自然数,同时满足以下要求:
(1)使所填的七个自然数的和是 1997;
(2)使图中给的每个数都是相邻两个○中所填数的差。

答案：
解:设最上面的数为$A$，由题意得:因为1加到7的和是28，所以加号的是14，减号的是14，那么:$1−2 + 3 + 4−5 + 6−7 = 0$，即:$A + 1−2 + 3 + 4−5 + 6−7 = A$，这样七个数分别为$A$，$A + 1$，$A + 1−2 = A−1$，$A + 1−2 + 3 = A + 2$，$A + 6$，$A + 1$，$A + 7$，则:$7A + 16 = 1997$，$A = 283$，所以最上面的数是283，按顺时针的方向依次是:283，284，282，285，289，284，290，填数如解图。
　　　　　

26. (2022 广东 GDFDZXC)如图,圆圈内有五个数 A,B,C,D,E,方框内的数表示与它相连的所有圆圈中的平均数,则 C 是4

答案： 4　[解析]由题图得$\begin{cases}A + B + C + D + E = 5×7 = 35\\A + B + C = 3×3 = 9\\C + D + E = 3×10 = 30\end{cases}$，所以$C=(A + B + C)+(C + D + E)-(A + B + C + D + E)=9 + 30−35 = 4$。

27. (2024 陕西 CX4Z)将 1~8 这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的○内,并使每个面上的四个○内数字之和都相等。

答案：
解:填数如解图。（答案不唯一）
　　　　　　　　

28. (2024 陕西 JD2FZ)如图是 3×3 的正方形,每一方格内的字母都代表某一个数,已知每行每列及对角线上三个数之和都相等,若$a= 3,d= 12,m= 15$,那么$b=$18;$h=$0

答案： 18 0　[解析]根据题意可知，$a + d + g = a + e + m$，即$12 + g = e + 15$，$g = e + 3$；$b + e + h = g + h + m$，即 $b + e + h = e + 3 + h + 15$，$b = 18$；$a + d + g = b + e + h$，即 $15 + e + 3 = 18 + e + h$，$h = 0$。

29. (2023 陕西 TYZ)相传,大禹治水时,洛水中出现了一个“神龟”,它的背上有美妙的图案,史称“洛书”,用现在的数字翻译出来,就是三阶幻方。三阶幻方是最简单的幻方,又叫九宫格,它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵。其对角线、横行、纵向的数字之和均相等,这个和叫做幻和,正中间那个数叫中心数。如图,图①是由 1,2,3,4,5,6,7,8,9 所组成的一个三阶幻方,其幻和为 15,中心数为 5。图②是一个新三阶幻方,该新三阶幻方的幻和为$a_{3}$的 6 倍,且$a_{3}+a_{7}= 28$,则$a_{7}=$21

答案： 21