《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

4. (2023 陕西 GDFZ)如图,在直角梯形 ABCD 中,$AD// BC,∠B= 90^{\circ },AD= 24cm,AB= 8cm,BC= $26 cm,动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度运动;动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B以 3 cm/s 的速度运动。动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为 t s。
(1)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形?
(2)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形?
(3)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为直角梯形?

答案：
解:
(1)如解图①,四边形PQCD是平行四边形,所以PD=QC,24−t=3t,解得t=6。答:当t为6时，四边形PQCD是平行四边形。
(2)如解图②,过点D作DE垂直BC于点E,则EC=26−24=2(cm),四边形PQCD是等腰梯形,过点P作PF垂直BC于点F,则QF=2cm,QC−PD=4(cm),3t−(24−t)=4,解得t=7。答:当t为7时,四边形PQCD是等腰梯形。
(3)如解图③,AB垂直于BC,且四边形PQCD是直角梯形,则PQ//AB,则点P走过的路程=点Q剩下的路程。AP=BQ,t=26−3t,解得t=6.5。答:当t为6.5时,四边形PQCD是直角梯形。 第4题解图

5. (2024 陕西 GXYZ 博雅班)如图,正方形 ABCD 的边长为 2 cm,在对称中心 O 处有一钉子。动点 P,Q 同时从点 A 出发,点 P 沿 A→B→C→D 方向以每秒 2 cm 的速度运动,到点 D 停止;点 Q 沿 A→D 方向以每秒 1 cm 的速度运动,到点 D 停止。P,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接,设 x 秒后橡皮筋扫过的面积为$ycm^{2}$。
(1)当橡皮筋刚好触及钉子时,求 x 的值。
(2)求当$x= \frac {5}{3}$时,y 的值。
(3)从橡皮筋触及钉子到运动停止的过程中,直接写出$∠POQ$为直角时 x 的数值。

答案： 解:
(1)当橡皮筋刚好触及钉子时,PQ为一条过对称中心O的线段,其中点P位于BC边上,点Q位于AD边上,此时PQ将正方形ABCD分为两个完全一样的梯形,则PC=AQ,即2+2−2x=x,解得x=$\frac{4}{3}$。答:当橡皮筋刚好触及钉子时，x的值为$\frac{4}{3}$。
(2)当x=$\frac{5}{3}$时,BP=2x−2=$\frac{4}{3}$(cm),AQ=x=$\frac{5}{3}$(cm),S五边形AOQPB=[(1+$\frac{4}{3}$)×1÷2]+[(1+$\frac{5}{3}$)×1÷2]=$\frac{5}{2}$(cm²)。答:当x=$\frac{5}{3}$时,y的值为$\frac{5}{2}$。
(3)∠POQ为直角时,x的值为2。[解析]点P运动到点C,点Q运动到点D,两点运动的时间相同，∠POQ也就是∠COD,为直角,此时点P运动了2+2=4cm,点Q运动了2cm,因此x的值为2。

6. (2023 陕西 JDFZ)如图,已知$△ABC$中,$AB= AC= 10$厘米,$BC= 8$厘米,点 D 为 AB 的中点。
(1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动,若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度是多少时,使得$BP= PC,CQ= BD$?
(2)若点 Q 以(1)中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿$△ABC$三边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在$△ABC$的哪条边上相遇?

答案： 解:
(1)设点Q的运动速度为v厘米/秒,经过t秒BP=CP,CQ=BD,要满足BP=PC,BD=CQ,即{3t=8−3t vt=5,解得{t=$\frac{4}{3}$ v=$\frac{15}{4}$}。答:当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$厘米/秒时,使得BP=PC,CQ=BD。
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意得$\frac{15}{4}$x=3x+2×10,解得x=$\frac{80}{3}$,点P共运动了$\frac{80}{3}$×3=80(厘米),80÷(8+10+10)=2(周)……24(厘米)，这时在边AB上。答:经过$\frac{80}{3}$秒后，点P,Q第一次在△ABC的边AB上相遇。