《2025年重点中学招生分班五年真题分类卷数学》

5. (2024陕西GXYZ博雅班)如图①,射线OC是$∠AOB$内部的一条射线,若$∠COA= \frac {1}{2}∠BOC$,则我们称射线OC是射线OA的伴随线。例如,如图②,$∠AOB= 60^{\circ },∠AOC= ∠COD= ∠BOD= 20^{\circ }$,则$∠AOC= \frac {1}{2}∠BOC$,称射线OC是射线OA的伴随线,同时,由于$∠BOD= \frac {1}{2}∠AOD$,则称射线OD是射线OB的伴随线。
【知识运用】
(1)如图③,若$∠AOB= 120^{\circ }$,射线OM是射线OA的伴随线,则$∠AOM= $______°;
(2)如图④,$∠AOB= 180^{\circ }$,射线OC与射线OA重合,并绕点O以每秒$3^{\circ }$的速度逆时针旋转,射线OD与射线OB重合,并绕点O以每秒$5^{\circ }$的速度顺时针旋转,当射线OD与射线OA重合时,运动停止。
①是否存在某个时刻t(秒),使得$∠COD的度数是20^{\circ }$,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
②若射线OD在$∠AOB$内部,当t= ______秒时,射线OC,OD,OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。(请直接写出答案)

答案：
5.解:
(1)40 [解析]由题意知,若射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=$\frac{1}{2}$∠BOM,又因为∠AOM+∠BOM=120°,所以∠AOM=40°。
(2)射线OD与射线OA重合时,t=$\frac{180}{5}$=36(秒),①当∠COD=20°时,有两种情况:
若在相遇之前,则180−5t−3t=20,解得t=20,
若在相遇之后，则5t+3t−20=180,解得t=25,
答:存在,当t=20秒或t=25秒时,∠COD=20°。
②$\frac{90}{7}$或$\frac{360}{19}$或$\frac{180}{7}$或30 [解析]相遇之前:
I:如解图①,OC是OA的伴随线时,∠AOC=$\frac{1}{2}$∠COD,即
3t=$\frac{1}{2}$(180−5t−3t),解得t=$\frac{90}{7}$;
II:如解图②,OC是OD的伴随线时,∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC,即
180−5t−3t=$\frac{1}{2}$×3t,所以t=$\frac{360}{19}$;
相遇之后:
III:如解图③,OD是OC的伴随线时,∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOD,即5t+
3t−180=$\frac{1}{2}$(180−5t),解得t=$\frac{180}{7}$;
IV:如解图④,OD是OA的伴随线时,∠AOD=$\frac{1}{2}$∠COD,即180−
5t=$\frac{1}{2}$(3t+5t−180),解得t=30。
答:综上所述,当t=$\frac{90}{7}$,$\frac{360}{19}$,$\frac{180}{7}$或30时,OC,OD,OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。

6. (2024陕西GDFZ)阅读理解:如图①,$\triangle ABC$中,沿$∠BAC的平分线AB_{1}$折叠,剪掉重叠部分,将余下部分沿$∠B_{1}A_{1}C的平分线A_{1}B_{2}$折叠,剪掉重叠部分;……;将余下部分沿$∠B_{n}A_{n}C的平分线A_{n}B_{n+1}$折叠,点$B_{n}$与点C重合。无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称$∠BAC是\triangle ABC$的"好角"。
小明展示了确定$∠BAC是\triangle ABC$的好角的两种情形,
情形一:如图②,沿等腰$\triangle ABC顶角∠BAC的平分线AB_{1}$折叠,点B与点C重合;
情形二:如图③,沿$\triangle ABC顶角∠BAC的平分线AB_{1}$折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿$∠B_{1}A_{1}C的平分线A_{1}B_{2}$折叠,此时点$B_{1}$与点C重合。
探究发现:(1)$\triangle ABC$中,$∠B= 2∠C$,经过两次折叠,问$∠BAC$______$\triangle ABC$的好角;(填写"是"或"不是")
(2)①小明经过三次折叠发现了$∠BAC是\triangle ABC$的好角,请探究$∠B与∠C$(假设$∠B＞∠C$)之间的等量关系为______;
②根据以上内容猜想:若经过n次折叠$∠BAC是\triangle ABC$的好角,则$∠B与∠C$(假设$∠B＞∠C$)之间的等量关系为______;
请你完成:(3)如果一个三角形的最小角是$10^{\circ }$,且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角,求此三角形另外两个角的度数。

[答案]：6.解:
(1)是 [解析]在情形二中,因为沿∠BAC的平分线AB₁折叠,所以∠B=∠AA₁B₁;又因为将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠,此时点B₁与点C重合,所以∠A₁B₁C=∠C;因为∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C(外角定理),所以∠B=2∠C,所以∠BAC是△ABC的好角。
(2)①∠B=3∠C [解析]在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分;将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B₂A₂C的平分线A₂B₃折叠,点B₂与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角。根据折叠的性质知，∠B=∠AA₁B₁,∠C=∠A₂B₂C,∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂,所以根据三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C;
因为根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁−∠A₁B₁C=∠BAC+2∠B−2∠C=180°,根据△ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,所以∠B=3∠C。
②∠B=n∠C [解析]由情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;由情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;由
(2)知,当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角;故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C。
(3)由(2)知,∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角，因为最小角是10°是△ABC的好角,根据好角定义，则可设另外两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数),
由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=17.因为m、n都是正整数,所以m与n+1是17的整数因子，
因此m=1,n=16,
所以10m=10°,10mn=160°,
所以该三角形的另外两个角的度数分别为10°、160°。

答案： 6.解:
(1)是 [解析]在情形二中,因为沿∠BAC的平分线AB₁折叠,所以∠B=∠AA₁B₁;又因为将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠,此时点B₁与点C重合,所以∠A₁B₁C=∠C;因为∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C(外角定理),所以∠B=2∠C,所以∠BAC是△ABC的好角。
(2)①∠B=3∠C [解析]在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重复部分;将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B₂A₂C的平分线A₂B₃折叠,点B₂与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角。根据折叠的性质知，∠B=∠AA₁B₁,∠C=∠A₂B₂C,∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂,所以根据三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C;
因为根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁−∠A₁B₁C=∠BAC+2∠B−2∠C=180°,根据△ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,所以∠B=3∠C。
②∠B=n∠C [解析]由情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;由情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;由
(2)知,当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角;故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C。
(3)由
(2)知,∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角，因为最小角是10°是△ABC的好角,根据好角定义，则可设另外两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数),
由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=17.因为m、n都是正整数,所以m与n+1是17的整数因子，
因此m=1,n=16,
所以10m=10°,10mn=160°,
所以该三角形的另外两个角的度数分别为10°、160°。