《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

2. 同类练 若函数$ f(x)=\begin{cases}x - 3,x\geq 10,\\f(f(x + 5)),x ＜ 10,\end{cases} $则$ f(7)=$____。

答案： 2.8

3. 拔高练 函数$ f(x)=\begin{cases}x,x\leq - 2,\\x + 1,-2 ＜ x ＜ 4,\\3x,x\geq 4,\end{cases} $若$ f(a) ＜ - 3 $，则$ a $的取值范围是____。

答案： 3.$(-\infty,-3)$

【例2】（1）某分段函数的图象如图所示，则该函数的定义域为____，值域为____。

（2）已知函数$ f(x)=1+\frac{|x|-x}{2}(-2 ＜ x\leq 2) $。
①用分段函数的形式表示该函数；
②作出该函数的图象；
③写出该函数的值域。

答案：

(1)$[-1,2]$ $[-1,1)$
(2)解:①$f(x)=\begin{cases}1 - x,-2 ＜ x ＜ 0,\\1,0\leq x\leq2.\end{cases}$
②函数$f(x)$的图象如图所示:

③由②知,$f(x)$在区间$(-2,2]$上的值域为$[1,3)$.

4. 已知函数$ y = f(x)=2|x - 1|-3|x| $，$ x\in\mathbf{R} $。
(1)作出函数$ f(x) $的图象。
(2)求函数$ f(x) $的值域。

答案：
4.解:
(1)如图所示.

(2)由图象可以看出，$f(x)$的值域为$(-\infty,2]$.

【例3】如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y。

（1）求y关于x的函数解析式$ y = f(x) $；
（2）作出$ y = f(x) $的图象。

答案： 1. （1）
当$0\leq x\leq4$时：
解：此时$P$在$BC$上，$\triangle APB$中，以$AB$为底边，$AB = 4$，高为$BP=x$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$y=\frac{1}{2}× AB× BP$，因为$AB = 4$，所以$y=\frac{1}{2}×4× x=2x$。
当$4\lt x\leq8$时：
解：此时$P$在$CD$上，$\triangle APB$中，以$AB$为底边，$AB = 4$，高为$BC = 4$（因为$AB$与$BC$垂直）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$y=\frac{1}{2}× AB× BC$，因为$AB = 4$，$BC = 4$，所以$y=\frac{1}{2}×4×4 = 8$。
当$8\lt x\leq12$时：
解：此时$P$在$DA$上，$AP=12 - x$，$\triangle APB$中，以$AB$为底边，$AB = 4$，高为$AP = 12 - x$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$y=\frac{1}{2}× AB× AP$，因为$AB = 4$，所以$y=\frac{1}{2}×4×(12 - x)=24 - 2x$。
综上，$y = f(x)=\begin{cases}2x,0\leq x\leq4\\8,4\lt x\leq8\\24 - 2x,8\lt x\leq12\end{cases}$。
2. （2）
解：
当$y = 2x(0\leq x\leq4)$时，是过原点$(0,0)$和$(4,8)$的一条线段（一次函数$y = kx$，$k = 2\gt0$，单调递增）。
当$y = 8(4\lt x\leq8)$时，是平行于$x$轴的线段，$y = 8$，$x\in(4,8]$。
当$y=24 - 2x(8\lt x\leq12)$时，是过$(8,8)$和$(12,0)$的一条线段（一次函数$y=kx + b$，$k=-2\lt0$，单调递减）。
图象：先建立平面直角坐标系，横坐标为$x$，纵坐标为$y$。
对于$y = 2x(0\leq x\leq4)$，描出点$(0,0)$和$(4,8)$，连接两点成线段。
对于$y = 8(4\lt x\leq8)$，在$x = 4$（空心点）到$x = 8$（实心点）之间画$y = 8$的水平线段。
对于$y=24 - 2x(8\lt x\leq12)$，描出点$(8,8)$（空心点，因为$x = 8$不属于此段函数定义域的端点）和$(12,0)$，连接两点成线段。