《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、指数函数的概念
情境Ⅰ：将一张报纸连续对折，折叠次数$x$与对应的层数$y$之间存在什么关系？
情境Ⅱ：质量为$1$的一种放射性物质不断衰变，每经过一年剩余的质量为原来的$\frac{1}{2}$，则经过$6$年后这种物质的剩余量$y = 0.5^6$.
【思考】
（1）情境Ⅰ中，你能写出层数$y$关于折叠次数$x$的解析式吗？
（2）情境Ⅱ中，试写出这种物质的剩余量$y$关于时间$x$（单位：年）的解析式.
（3）指数函数的解析式有怎样的结构特征？
（4）在指数函数的定义中，为什么规定底数$a＞0$，且$a\neq1$？
二、指数增长（或衰减）模型
【思考】
在指数增长型或指数衰减型函数$y = ka^x$中，分别对$a$有什么要求？

答案： 一、指数函数的概念
【思考】
(1)提示$:y=2^{x}(x\in \mathbf{N}^{*}).$
(2)提示$:y = (\frac{1}{2})^{x}(x\in \mathbf{N}^{*}).$
(3)提示:①底数是大于0，且不等于1的常数.
②指数是自变量x.
$③a^{x}$的系数必须是1.
(4)提示:若a = 1，则$y = 1^{x}=1$是一个常
量，没有研究的必要.
若a = 0，则当x＞0时，$a^{x}$恒等于0，当$x\leq0$时，$a^{x}$无意义.
若a＜0，则对一些函数，比如y = (-4)^{x}，当x=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots时，函数值不存在，为了避免上述情况，所以规定a＞0，且$a\neq1.$
二、指数增长(衰减)模型
【思考】
提示:当a＞1时为指数增长型函数，当0＜a＜1时为指数衰减型函数.