《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 若$a$，$b$为正数，且$a + b \leq 4$，则 ( )

A.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 1$
B.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$
C.$ab \leq 4$
D.$ab \geq 8$

答案： 1.C

2. 若$a ＞ b ＞ c$，则$\sqrt{(a - b)(b - c)}$与$\frac{a - c}{2}$的大小关系是________。

答案： 2.$\sqrt{(a - b)(b - c)} \leqslant \frac{a - c}{2}$

【例2】已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$a + b + c = 1$，求证：$(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) \geq 10$。

答案： 解：$(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) =$$(a + \frac{a + b + c}{a}) + (b + \frac{a + b + c}{b}) + (c + \frac{a + b + c}{c}) = 4 + (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) + (\frac{c}{b} + \frac{b}{c}) \geqslant 4 + 2 + 2 + 2 = 10$，当且仅当$a = b = c = \frac{1}{3}$时，等号成立.所以$(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) \geqslant 10$.

3. 已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$abc = 1$，求证：$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$。

答案： 3.证明：因为$a,b,c$都是正数，且$abc = 1$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = 2\sqrt{c}$，$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{bc}} = 2\sqrt{a}$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ac}} = 2\sqrt{b}$，以上三个不等式相加，得$2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geqslant 2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$，即$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leqslant \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$，当且仅当$a = b = c = 1$时，等号成立.