《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 1】
（1）下列语句不是存在量词命题的是（ ）
A.所有无理数的平方都是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.存在 $ n \in \mathbf{N} $，$ 2n - 1 $ 是奇数
D.存在 $ n \in \mathbf{N} $，$ 2n + 1 $ 是偶数

答案： （1）A

（2）将下列命题用“$ \forall $”或“$ \exists $”表示。
① 实数的平方是非负数；
② 关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x + 1 = 0 $（$ a ＜ 1 $）至少存在一个负根。

答案： （2）①∀x∈R,x²≥0.②∃x＜0,ax²+2x+1=0(a＜1).

1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题。
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都与 $ x $ 轴相交；
(4)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么它也与另一条相交。

答案： 1.
(1)全称量词命题.
(2)存在量词命题.
(3)全称量词命题.
(4)全称量词命题.

【例 2】
判断下列命题的真假。
（1）$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^2 - x + 1 ＞ \frac{1}{2} $；
（2）$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + 1 ＜ 2x $；
（3）每一条线段的长度都能用正有理数表示；
（4）存在一个实数 $ x $，使等式 $ x^2 + x + 8 = 0 $ 成立。
【自主解答】
【过程评价】
2. 变式练 将本例第(1)小题改为“$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ x^2 - x + 1 \leq \frac{1}{2} $”，对其判断真假。

答案： （1）真命题.（2）假命题.（3）假命题.（4）假命题.2. 假命题.

3. 同类练 下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 $ x $，使 $ x^2 \leq 0 $
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数 $ x $，使 $ \frac{1}{x} ＞ 2 $

答案： 3.B

 4. 拔高练 若命题“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + ax - 4a \geq 0 $”为真命题，则实数 $ a $ 的取值范围为( )

A.$ -16 \leq a \leq 0 $
B.$ -16 ＜ a ＜ 0 $
C.$ -4 \leq a \leq 0 $
D.$ -4 ＜ a ＜ 0 $

答案： 4.A