《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

4. 用二分法求方程 $2^x + 3x - 9 = 0$ 在区间 $[1,3]$ 上的近似根时，取中点 $2$，则下一个有根区间是________。

答案： 4.(1,2)

5. 在用二分法求方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[0,1]$ 上的近似解时，经计算，$f(0.625) ＜ 0$，$f(0.75) ＞ 0$，$f(0.6875) ＜ 0$，即得出方程的一个近似解为________。(精确度为 $0.1$)

答案： 5.0.6875(答案不唯一)

6. 用二分法求函数 $f(x) = x^2 - 5$ 的正零点的近似值(精确度为 $0.1$)。

答案： 6.解:因为$f(2.2)= - 0.16＜0$，$f(2.4)=0.76＞0$，
　所以$f(2.2)f(2.4)＜0$，
　说明这个函数在区间$(2.2,2.4)$上有零点$x_0$.
　取区间$(2.2,2.4)$的中点$x_1=2.3$，
　则$f(2.3)=0.29$.
　因为$f(2.2)f(2.3)＜0$，
　所以$x_0\in(2.2,2.3)$.
　再取区间$(2.2,2.3)$的中点$x_2=2.25$，$f(2.25)=0.0625$.
　因为$f(2.2)f(2.25)＜0$，
　所以$x_0\in(2.2,2.25)$.
　因为$\vert2.25 - 2.2\vert=0.05＜0.1$，
　所以函数$f(x)=x^2 - 5$的正零点的近似值可取为$2.25$.

7. 设 $f(x) = e^x + x - 4$，现在用二分法估计 $f(x) = 0$ 在区间 $(0.9,1.3)$ 上的近似解。先利用计算器计算出 $f(0.9) ＜ 0$，$f(1.3) ＞ 0$，接着又计算出 $f(1.1) ＞ 0$，下一步计算出 $f(c) ＜ 0$，则方程的解所在的区间是（ ）

A.$(0.9,1)$
B.$(1,1.1)$
C.$(1.1,1.2)$
D.$(1.2,1.3)$

答案： 7.B

8. 已知图象连续不断的函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0,0.1)$ 上有唯一零点，若用二分法求这个零点的近似值（精确度为 $0.01$），则应将区间 $(0,0.1)$ 等分的次数至少为（ ）

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 8.B

9. 用二分法研究函数 $f(x) = x^3 + 3x - 1$ 的零点时，第一次经计算 $f(0) ＜ 0$，$f(0.5) ＞ 0$，可得其中一个零点 $x_0 \in$________，第二次应计算________（写成 $f(a)$ 的形式）。

答案： 9.$(0,0.5)$ $f(0.25)$

10. 在 $26$ 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，至少称________次就一定可以发现这枚假币。

答案： 10.4

11. 已知函数 $f(x) = 3ax^2 + 2bx + c$，$a + b + c = 0$，$f(0) ＞ 0$，$f(1) ＞ 0$，证明 $a ＞ 0$，并利用二分法证明关于 $x$ 的方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0,1)$ 上有两个实根。

答案： 11.证明:因为$f(1)＞0$，
　所以$3a + 2b + c＞0$，
　即$3(a + b + c)-b - 2c＞0$.
因为$a + b + c=0$，所以$a= - b - c$.
因为$-b - 2c＞0$，
所以$-b - c＞c$，即$a＞c$.
因为$f(0)＞0$，所以$c＞0$，所以$a＞0$.
取区间$(0,1)$的中点$\frac{1}{2}$，
则$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}a + b + c=\frac{3}{4}a + (-a)=-\frac{1}{4}a＜0$.
因为$f(0)＞0$，$f(1)＞0$，
所以函数$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上和区间$(\frac{1}{2},1)$上各有一个零点.
又因为$f(x)$为二次函数，最多有两个零点，所以方程$f(x)=0$在区间$(0,1)$上有两个实根.