《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 当 $x ＞ 0$ 时，$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ 的最大值为( )

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.4

答案： 1.B

2. 若 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且 $x + 4y = 20$，则 $xy$ 的最大值是______，此时 $y =$______.

答案： 2.25 $\frac{5}{2}$

3. 若实数 $x$，$y$ 满足 $xy = 1$，则 $x^2 + 2y^2$ 的最小值为______.

答案： 3.$2\sqrt{2}$

4. (1)已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 2y = 8$，求 $xy$ 的最大值；
(2)设 $x ＞ -1$，求函数 $y = x + \frac{4}{x + 1} + 6$ 的最小值.

答案： 4.解：
(1)$xy$的最大值为$8$.
(2)最小值为$9$.

5. 若正实数 $x$，$y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$，且 $x + \frac{y}{4} ＞ a - 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为______.

答案： 5.$a ＜ 7$

6. 某公司购买了一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 $y$（单位：万元）与机器运转时间 $x$（单位：年）的关系为 $y = -x^2 + 18x - 25(x \in N^*)$，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元.

答案： 6.5 8

7. 某市准备建一个综合性休闲广场，其示意图如图所示. 已知矩形广场的总面积为 $2000m^2$，其中阴影部分为通道，通道的宽均为 $1m$，中间的两个小矩形完全相同.

（1）用矩形的宽 $x$（单位：m）表示中间的三个矩形的总面积 $S$（单位：$m^2$）的函数解析式，并给出定义域.
（2）当矩形的宽 $x$ 为何值时，$S$ 取得最大值？并求出最大值.

答案： 7.解：
(1)$S = 2005 - (\frac{5000}{x} + 2x)$，$3 ＜ x ＜ 1000$.
(2)当$x = 50$时，$S$取得最大值$1805m^2$.