《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、函数$y = a^{x}$与$y = (\frac{1}{a})^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$的图象的对称性
情境：观察在同一平面直角坐标系中函数$y = 2^{x}$，$y = 3^{x}$，$y = (\frac{1}{2})^{x}$，$y = (\frac{1}{3})^{x}$的图象.

【思考】
(1)比较函数$y = 2^{x}$与$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象及$y = 3^{x}$与$y = (\frac{1}{3})^{x}$的图象，它们有什么关系？由此，你能得到什么结论？
(2)能否利用$y = 2^{x}$的图象作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象？
(3)在第一象限内，指数函数底数的大小与其图象和直线$x = 1$交点的高低有怎样的关系？

答案：
(1)提示:函数$y=2^{x}$与$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象关于$y$轴对称，$y=3^{x}$与$y=(\frac{1}{3})^{x}$的图象关于$y$轴对称.由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于$y$轴对称.
(2)提示:根据两个函数的图象关于$y$轴对称，可利用$y=2^{x}$的图象作出$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象
(3)提示:在第一象限内，底数越大，图象与直线$x=1$交点的位置越高.

二、指数函数的图象与性质
【思考】
(1)指数函数$y = a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$有哪些性质？
(2)指数函数的图象能与$x$轴相交吗？

答案：
(1)提示:①定义域是$\mathbf{R}$.
②值域是$(0,+\infty)$.
③过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$.
④当$0＜a＜1$时，在$\mathbf{R}$上是减函数；当$a＞1$时，在$\mathbf{R}$上是增函数.
(2)提示:指数函数的图象与$x$轴无限靠近，但不相交，一定在$x$轴的上方.