《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

4. 同类练 若 $ \log_{a}\frac{1}{2} ＞ 1 $，则 $ a $ 的取值范围是________。

答案： 4.$(\frac{1}{2},1)$

5. 拔高练 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \log_{2}x, & x ＞ 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(-x), & x ＜ 0 \end{cases} $，若 $ f(a) ＞ f(-a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ (-1, 0) \cup (1, +\infty) $
B.$ (-\infty, -1) \cup (0, 1) $
C.$ (-1, 0) \cup (0, 1) $
D.$ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $

答案： 5.A

【例 3】（1）如果函数 $ y = a^{-x} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）是单调递减函数，那么函数 $ f(x) = \log_{a}\frac{1}{x + 1} $ 的图象大致是（ ）

答案： （1）C 解析：由$y=a^{-x}=(\frac{1}{a})^{x}$，且函数为减函数，知$0＜\frac{1}{a}＜1$.又因为$f(x)=\log_{a}\frac{1}{x + 1}=-\log_{a}(x + 1)=\log_{\frac{1}{a}}(x + 1)$，所以函数$y=\log_{\frac{1}{a}}x$的图象向左平移$1$个单位长度即可得到$f(x)$的图象，故选C.

（2）已知函数 $ y = \log_{a}(x + 3) - 1 $（$ a ＞ 0 $，$ a \neq 1 $）的图象恒过定点 $ A $，若点 $ A $ 也在函数 $ f(x) = 3^{x} + b $ 的图象上，则 $ f(\log_{3}2) = $________。

答案： （2）$\frac{8}{9}$ 解析：令$x + 3=1$，得$x=-2$，$y=-1$，即定点为$A(-2,-1)$.因为点$A$在函数$f(x)=3^{x}+b$的图象上，所以$f(-2)=3^{-2}+b=-1$，得$b=-\frac{10}{9}$，所以$f(x)=3^{x}-\frac{10}{9}$，所以$f(\log_{3}2)=3^{\log_{3}2}-\frac{10}{9}=2-\frac{10}{9}=\frac{8}{9}$.

（3）如图所示，四条曲线分别是对数函数 $ y = \log_{a}x $，$ y = \log_{b}x $，$ y = \log_{c}x $，$ y = \log_{d}x $ 的图象，则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 及 $ 1 $ 的大小关系为________。

答案： （3）b＞a＞1＞d＞c 解析：由对数函数底数大小与图象位置的关系，知b＞a＞1＞d＞c.

6. 函数 $ y = x + a $ 与 $ y = \log_{a}x $ 在同一平面直角坐标系中的图象只可能是下面选项中的( )

答案： 6.C

7. 函数 $ f(x) = \log_{a}(2x + 1) + 2 $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象必过定点________。

答案： 7.$(0,2)$