《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、函数的零点及函数的零点与方程的解、函数的图象的关系
情境：
(1) 一元二次方程 $x^{2}-4x + 3 = 0$ 有两个不相等的实根 $x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 3$ 有两个零点 $1$ 和 $3$。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 3$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点 $(1,0)$ 和 $(3,0)$。
(2) 一元二次方程 $x^{2}-4x + 4 = 0$ 有两个相等的实根 $x_{1}=x_{2}=2$。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 4$ 有一个零点 $2$。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 4$ 的图象与 $x$ 轴有一个公共点 $(2,0)$。
(3) 一元二次方程 $x^{2}-4x + 5 = 0$ 没有实根。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 5$ 没有零点。
二次函数 $y = x^{2}-4x + 5$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点。
【思考】
(1) 对于一般函数 $y = f(x)$，其零点如何定义？
(2) 根据函数图象与 $x$ 轴的交点能求出方程的根或函数的零点吗？
(3) 函数的零点是一个点吗？

答案：
(1)提示:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)提示:能.
(3)提示:函数的零点不是一个点，而是一个实数.

二、函数零点存在定理
情境：


【思考】
(1) 若函数 $f(x)$ 满足 $f(a)f(b)＞0$ 或 $f(a)f(b)＜0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上一定有零点吗？
(2) 若函数 $y = f(x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b)＜0$，则函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有零点吗？
(3) 增加什么条件，函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上只有一个零点？

答案：
(1)提示:不一定.
(2)提示:有零点.
(3)提示:增加函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数，则只有一个零点.