《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 化简$\sin^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha$的结果是( )

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 1.C

2. 设$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，若$\sin\theta=\frac{1}{3}$，则$\cos\theta$等于( )

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： 2.D

3. 下列四个结论中可能成立的是( )

A.$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，且$\cos\alpha=\frac{1}{2}$
B.$\sin\alpha = 0$，且$\cos\alpha=-1$
C.$\tan\alpha = 1$，且$\cos\alpha=-1$
D.$\alpha$是第二象限角时，$\tan\alpha=-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

答案： 3.B

4. $(1+\tan^{2}15^{\circ})\cos^{2}15^{\circ}$的值等于( )

A.$\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
B.$1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 4.B

5. 若$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}=2$，则$\sin\theta\cos\theta$的值是( )

A.$\frac{3}{4}$
B.$\pm\frac{3}{10}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$-\frac{3}{10}$

答案： 5.C

6. 若$\sin\alpha = 3\cos\alpha$，则$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}=$________。

答案： 6.2

7. 化简：$\sqrt{1 - 2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}}=$________。

答案： 7.$\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}$

8. 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}$及$\sin\alpha - \cos\alpha$的值。

答案： 8.解：$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=-3$，$\sin\alpha-\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$.

9. 已知$\alpha$是第三象限角，化简$\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}=$（ ）

A.$\tan\alpha$
B.$-\tan\alpha$
C.$-2\tan\alpha$
D.$2\tan\alpha$

答案： 9.C

10. 多选题 已知$\alpha\in(0,\pi)$，$\sin\alpha$，$\cos\alpha$是关于$x$的方程$3x^{2}-x - m = 0$的两根，则下列等式正确的是（ ）

A.$m = -\frac{4}{3}$
B.$\sin\alpha - \cos\alpha=\frac{\sqrt{17}}{3}$
C.$\tan\alpha=\frac{7}{13}$
D.$\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha=-\frac{\sqrt{17}}{9}$

答案： 10.BD

11. 若$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$，则$\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha}=$________。

答案： 11.$-\frac{1}{3}$

12. 在$\triangle ABC$中，若$\sqrt{2}\sin A=\sqrt{3\cos A}$，则角$A=$________。

答案： 12.$\frac{\pi}{3}$

13. 已知$\frac{\tan^{2}\alpha}{1 + 2\tan\alpha}=\frac{1}{3}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$。
(1)求$\tan\alpha$的值；
(2)求$\frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{5\cos\alpha - \sin\alpha}$的值。

答案： 13.解：
(1)$\tan\alpha=-\frac{1}{3}$.
(2)$\frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{5\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{5}{16}$.

14. 求证：$\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\frac{2(\cos\alpha - \sin\alpha)}{1 + \sin\alpha+\cos\alpha}$。

答案： 证明：左边$=\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$
$\begin{aligned}&=\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)-\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\\&=\frac{\cos\alpha+\cos^{2}\alpha-\sin\alpha-\sin^{2}\alpha}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\\&=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)+(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\\&=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)+(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\\&=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\cos\alpha+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\end{aligned}$
设$t = 1+\sin\alpha+\cos\alpha$，则$t^{2}=(1+\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=2(1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)$，即$1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=\frac{t^{2}}{2}$。
分母$(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)=1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=\frac{t^{2}}{2}$，分子为$(\cos\alpha-\sin\alpha)t$。
所以左边$=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)t}{\frac{t^{2}}{2}}=\frac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{t}=\frac{2(\cos\alpha - \sin\alpha)}{1 + \sin\alpha+\cos\alpha}=$右边。
综上，等式得证。