《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

3. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来 $ 30 $ 天的日销售量 $ m(t) $(单位：百件)与时间第 $ t $ 天的关系如表所示。
未来 $ 30 $ 天受市场因素影响，前 $ 15 $ 天此商品每天每件的利润 $ f_1(t) $(单位：元)与时间第 $ t $ 天的函数解析式为 $ f_1(t) = -3t + 88 (1 \leq t \leq 15 $，且 $ t $ 为整数)，而后 $ 15 $ 天此商品每天每件的利润 $ f_2(t) $(单位：元)与时间第 $ t $ 天的函数解析式为 $ f_2(t) = \frac{600}{t} + 2 (16 \leq t \leq 30 $，且 $ t $ 为整数)。
(1)现给出以下两种函数模型：① $ m(t) = kt + b (k, b $ 为常数)；② $ m(t) = b \cdot a^t (a, b $ 为常数，$ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $)。结合表格中的数据，请说明哪种函数模型更合适，并求出该函数的解析式。
(2)若这 $ 30 $ 天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过 $ 4 $ 万元，则考虑转型。请判断该公司是否需要转型，并说明理由。

答案： 3.解：
(1)若选择模型①，将$(1,2)$以及$(3,3)$代入可得$\begin{cases}k + b = 2,\\3k + b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
即$m(t)=\frac{t}{2}+\frac{3}{2}$，经验证，符合题意.
若选择模型②，将$(1,2)$以及$(3,3)$代入可得$\begin{cases}ab = 2,\\ba^{3}=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{\sqrt{6}}{2},\\b=\frac{2\sqrt{6}}{3},\end{cases}$
即$m(t)=\frac{2\sqrt{6}}{3}×(\frac{\sqrt{6}}{2})^{t}$，
当$t = 10$时，$m(10)\approx12.4$，故此函数模型不符合题意.
所以函数模型①更合适，其解析式为$m(t)=\frac{t}{2}+\frac{3}{2}(1\leq t\leq30$，且$t$为整数$)$.
(2)该公司需要转型，理由略.