《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为 $ v $（单位：$ m/s $），鲑鱼耗氧量的单位数为 $ Q $，研究中发现 $ v $ 与 $ \log_{3}\frac{Q}{100} $ 成正比，且当 $ Q = 900 $ 时，$ v = 1 $.
(1) 求出 $ v $ 关于 $ Q $ 的函数解析式.
(2) 当一条鲑鱼的游速是 $ 1.5 m/s $ 时，耗氧量的单位数是多少？
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高 $ 1 m/s $，其耗氧量的单位数应怎样变化？

答案：
(1) 根据题意设 $v = k \log_{3}\frac{Q}{100}$，
当 $Q = 900$ 时，$v = 1$，代入得：
$1 = k \log_{3}9$
$1 = 2k$
从上式解得 $k = \frac{1}{2}$，
所以 $v$ 关于 $Q$ 的函数解析式为：
$v = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$
(2) 将 $v = 1.5$ 代入 $v = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$ 得：
$1.5 = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$
$\log_{3}\frac{Q}{100} = 3$
$\frac{Q}{100} = 3^{3}$
$Q = 2700$
所以当鲑鱼的游速为 $1.5 m/s$ 时，耗氧量的单位数为 $2700$。
(3) 设原来的游速为 $v_{1} m/s$，耗氧量的单位数为 $Q_{1}$，提高后的游速为 $v_{2} m/s$，耗氧量的单位数为 $Q_{2}$。
由题意，$v_{2} - v_{1} = 1$，
即$\frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q_{2}}{100} - \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q_{1}}{100} = 1$
$\log_{3}\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 2$
$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 3^{2}$
$Q_{2} = 9Q_{1}$
所以，耗氧量的单位数应变为原来的 $9$ 倍。

3. 声强级 $ Y $(单位：分贝)由公式 $ Y = 10\lg\frac{I}{10^{-12}} $ 给出，其中 $ I $ 为声强(单位：$ W/m^2 $).
(1) 一般常人能听到的最低声强级是 $ 0 $ 分贝，则能听到的最低声强为多少？
(2) 比较理想的睡眠环境要求声强级 $ Y \leq 50 $ 分贝，已知熄灯后两名学生在宿舍说话的声强为 $ 5 × 10^{-7} W/m^2 $，问：这两名同学是否会影响其他同学休息？

答案： 3.解:
(1)当$Y = 0$，即$10\lg\frac{I}{10^{-12}} = 0$时，$\frac{I}{10^{-12}} = 1$，则$I = 10^{-12} W/m^2$，则能听到的最低声强为$10^{-12} W/m^2$.
(2)当声强$I = 5×10^{-7} W/m^2$时，声强级$Y = 10\lg\frac{5×10^{-7}}{10^{-12}} = 10\lg(5×10^5) = 50 + 10\lg5 ＞ 50$，所以这两名同学会影响其他同学休息.

【例 3】某工厂今年 $ 1 $ 月、$ 2 $ 月、$ 3 $ 月生产某种产品的数量分别是 $ 1 $ 万件、$ 1.2 $ 万件、$ 1.3 $ 万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 $ y $ 与月份 $ x $ 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 $ y = ab^{x} + c $（其中 $ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a \neq 0 $，$ b ＞ 0 $，$ b \neq 1 $），已知 $ 4 $ 月份该产品的产量为 $ 1.37 $ 万件，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？

答案： 解:设$y_1 = f(x) = px^2 + qx + r$（$p$，$q$，$r$为常数，且$p\neq0$），$y_2 = g(x) = ab^x + c$（$a$，$b$，$c$为常数，$a\neq0$，$b ＞ 0$，$b\neq1$），根据已知有$\begin{cases}p + q + r = 1\\4p + 2q + r = 1.2\\9p + 3q + r = 1.3\end{cases}$和$\begin{cases}ab + c = 1\\ab^2 + c = 1.2\\ab^3 + c = 1.3\end{cases}$，解得$\begin{cases}p = -0.05\\q = 0.35\\r = 0.7\end{cases}$，$\begin{cases}a = -0.8\\b = 0.5\\c = 1.4\end{cases}$，所以$f(x) = -0.05x^2 + 0.35x + 0.7$，$g(x) = -0.8×0.5^x + 1.4$.所以$f(4) = 1.3$，$g(4) = 1.35$.显然$g(4)$更接近$1.37$，故选用$y = -0.8×0.5^x + 1.4$作为模拟函数较好.