《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1.某电子产品的利润 y(单位：元)与产量 x(单位：件)的函数解析式为 $ y = -3x^2 + 120x $，要使利润获得最大值，则产量应为( )

A.10 件
B.20 件
C.25 件
D.30 件

答案： 1.B

2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
$ y = \begin{cases} 4x, & 1 \leq x ＜ 10, x \in \mathbf{N}^*, \\ 2x + 10, & 10 \leq x ＜ 100, x \in \mathbf{N}^*, \\ 1.5x, & x \geq 100, x \in \mathbf{N}^*. \end{cases} $
其中 x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( )

A.15
B.40
C.25
D.130

答案： 2.C

3.某机床总成本 y(单位：万元)与产量 x(单位：台)之间的函数关系为 $ y = x^2 - 75x $，若每台机器售价为 25 万元，则该厂获利润最大时应生产机器数量为______台.

答案： 3.50

4.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用 $ f(x) $ 表示学生掌握和接受概念的能力($ f(x) $ 的值越大，表示学生的接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：
$ f(x) = \begin{cases} -0.1x^2 + 2.6x + 43, & 0 ＜ x \leq 10, \\ 59, & 10 ＜ x \leq 16, \\ -3x + 107, & 16 ＜ x \leq 30. \end{cases} $
(1)讲课开始后 5 min 和讲课开始后 20 min 比较，何时学生的接受能力强一些？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多久？
(3)如果一道数学难题需要讲授 13 min，并且要求学生的接受能力至少达到 55，那么老师能否在学生一直处于所需接受能力的状态下讲授完这道题目？请说明理由.

答案： 4.解：
(1)f
(5)=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5，f
(20)=-3×20+107=47，47＜53.5，所以讲课开始后5min学生的接受能力强一些.
(2)当0＜x≤10时，f(x)=-0.1x²+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9，f(x)在0＜x≤10时单调递增，最大值为f
(10)=-0.1×(10-13)²+59.9=59；当10＜x≤16时，f(x)=59；当16＜x≤30时，函数f(x)为减函数，且f(x)＜59，所以讲课开始后10min时，学生的接受能力最强，能维持6min.
(3)当0＜x≤10时，令f(x)=55，则x=6；当16＜x≤30时，令f(x)=55，则$x=17\frac{1}{3}；$因为$17\frac{1}{3}-6=11\frac{1}{3}＜13，$所以老师不能在学生一直处于所需接受能力的状态下讲授完这道题目.

5.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元.而卖出 x 吨的价格为 Q 元每吨，已知 $ P = 1 000 + 5x + \dfrac{1}{10}x^2 $，$ Q = a + \dfrac{x}{b} $，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为 150 吨时利润最大，此时每吨的价格为 40 元，则有（ ）

A.$ a = 45 $，$ b = -30 $
B.$ a = 30 $，$ b = -45 $
C.$ a = -30 $，$ b = 45 $
D.$ a = -45 $，$ b = -30 $

答案： 5.A

6.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个.若销售单价每上涨 1 元，则日销售量减少 10 个.为获得最大利润，则此商品日销售单价应定为______元.

答案： 6.14

7.有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获得的利润依次是 P(单位：万元)和 Q(单位：万元)，它们与投入资金 x(单位：万元)的关系如下：$ P = \dfrac{x}{5} $，$ Q = \dfrac{3}{5}\sqrt{x} $.今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为______万元，______万元.

答案： 7.0.75 2.25