《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、函数的增减性
情境Ⅰ：德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的。最初遗忘速度较快，以后逐渐减慢。他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图所示。
情境Ⅱ：作出函数 f(x)=x，f(x)=x2，f(x)=x1​ 的图象，如图所示。
从图象上不难看出函数 f(x)=x 的图象从左到右是上升的；函数 f(x)=x2 的图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，而在 y 轴右侧部分从左到右是上升的；函数 f(x)=x1​ 的图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，在 y 轴右侧部分从左到右也是下降的。

【思考】
(1) 情境Ⅰ告诉我们学习中的遗忘规律是如何变化的？
(2) 情境Ⅱ中 f(x) 随 x 的增大是如何变化的？
(3) 什么是增(减)函数？增(减)函数定义中的 x1​，x2​ 有什么特征？
(4) 若函数 f(x) 是其定义域上的增函数，且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关系？若函数 f(x) 是减函数呢？

答案： $(1)$ 遗忘规律
情境Ⅰ告诉我们，学习中的遗忘规律是：最初遗忘速度较快，以后逐渐减慢。
$(2)$ $f(x)$随$x$的变化情况
对于$f(x) = x$，$f(x)$随$x$的增大而增大。
对于$f(x)=x^{2}$，当$x\lt0$时，$f(x)$随$x$的增大而减小；当$x\gt0$时，$f(x)$随$x$的增大而增大。
对于$f(x)=\frac{1}{x}$，当$x\lt0$时，$f(x)$随$x$的增大而减小；当$x\gt0$时，$f(x)$随$x$的增大而减小。
$(3)$ 增（减）函数的定义及$x_1,x_2$的特征
增函数：设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1,x_2$，当$x_1\lt x_2$时，都有$f(x_1)\lt f(x_2)$，那么就说函数$y = f(x)$在区间$D$上是增函数。
减函数：设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1,x_2$，当$x_1\lt x_2$时，都有$f(x_1)\gt f(x_2)$，那么就说函数$y = f(x)$在区间$D$上是减函数。
$x_1,x_2$的特征：$x_1,x_2$是区间$D$上的任意两个自变量的值，具有任意性。
$(4)$ $a,b$的关系
若函数$f(x)$是其定义域上的增函数，且$f(a)\gt f(b)$，根据增函数的定义（当$x_1\lt x_2$时，$f(x_1)\lt f(x_2)$），则$a\gt b$。
若函数$f(x)$是其定义域上的减函数，且$f(a)\gt f(b)$，根据减函数的定义（当$x_1\lt x_2$时，$f(x_1)\gt f(x_2)$），则$a\lt b$。