《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 4】（1）若函数 $ f(x) = \log_{2}(x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) $ 是奇函数，则 $ a = $________。
（2）函数 $ y = \log_{\frac{1}{3}}(8 + 2x - x^{2}) $ 的值域是________。
（3）函数 $ f(x) = \ln(x^{2} - 2x - 8) $ 的单调递增区间是________。

答案： （1）$\pm1$ 解析：由函数$f(x)$是奇函数，得$f(-x)=-f(x)$，所以$\log_{2}(\sqrt{x^{2}+a^{2}}-x)+\log_{2}(\sqrt{x^{2}+a^{2}}+x)=0$，即$\log_{2}a^{2}=0$，所以$a^{2}=1$，解得$a=\pm1$.
（2）$[-2,+\infty)$ 解析：设$u=8 + 2x - x^{2}$，则$u=-(x - 1)^{2}+9\leq9$，
由题意，知$u＞0$，所以$0＜u\leq9$.
又因为$y=\log_{\frac{1}{3}}u$在区间$(0,+\infty)$上为减函数，
所以$\log_{\frac{1}{3}}u\geq\log_{\frac{1}{3}}9=-2$，
所以$y=\log_{\frac{1}{3}}(8 + 2x - x^{2})$的值域为$[-2,+\infty)$.
（3）$(4,+\infty)$ 解析：由$x^{2}-2x - 8＞0$，得$x＞4$或$x＜-2$，即$x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$.
令$u=x^{2}-2x - 8$，则$u=(x - 1)^{2}-9$，
则$u$在区间$(-\infty,-2)$上单调递减，在区间$(4,+\infty)$上单调递增.
又因为当$u\in(0,+\infty)$时，$y=\ln u$单调递增，
所以当$x\in(4,+\infty)$时，$f(x)=\ln(x^{2}-2x - 8)$单调递增.

8. 函数 $ f(x) = \lg\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} $ 是( )

A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数

答案： 8.A

9. 多选题 已知函数 $ f(x) = \log_{2}(6 - ax) $ 在区间 $ (0, 2) $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值可以是( )

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 9.BCD

10. 函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^{2} + 2x + 3) $ 的值域是________。

答案： 10.$(-\infty,-1]$

1. 如图，若 $ C_{1} $，$ C_{2} $ 分别为函数 $ y = \log_{a}x $ 和 $ y = \log_{b}x $ 的图象，则( )

A.$ 0 ＜ a ＜ b ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ b ＞ 1 $
D.$ b ＞ a ＞ 1 $

答案： 1.B

2. 若 $ a = \log_{4}6 $，$ b = \log_{4}0.2 $，$ c = \log_{2}3 $，则这三个数的大小关系是( )

A.$ c ＞ a ＞ b $
B.$ a ＞ c ＞ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案： 2.A

3. 下列关于函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 4) $ 的单调性叙述正确的是( )

A.在 $ \mathbf{R} $ 上为增函数
B.在 $ \mathbf{R} $ 上为减函数
C.在区间 $ (4, +\infty) $ 上为增函数
D.在区间 $ (4, +\infty) $ 上为减函数

答案： 3.D

4. 函数 $ f(x) = 4 + \log_{a}(x - 1) $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象恒过定点 $ A $，则点 $ A $ 的坐标是________。

答案： 4.$(2,4)$