《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、对数的运算性质
【思考】
(1)对数有哪些运算性质？
(2)等式 $ \log_{2}[(-3)×(-5)]=\log_{2}(-3)+\log_{2}(-5) $ 是否正确？

答案：
(1)提示：如果$a＞0$，且$a\neq1,M＞0,N＞0$，那么①$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$；②$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$；③$\log_aM^n=n\log_aM$.
(2)提示：不正确.对数的运算性质要求$M＞0,N＞0$.

二、对数换底公式
【思考】
(1)对数换底公式是什么？
(2)$ \log_{a}b $ 与 $ \log_{b}a $ 有怎样的关系？

答案：
(1)提示：若$a＞0$，且$a\neq1,b＞0,c＞0$，且$c\neq1$，则有$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$.
(2)提示：$\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}=\frac{1}{\log_ba}$，即$\log_ab\cdot\log_ba=1$.

【例 1】（1）若 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，则 $ \frac{\lg 45}{\lg 12} = $（ ）
A.$ \frac{a + 2b}{2a + b} $
B.$ \frac{1 - a + 2b}{2a + b} $
C.$ \frac{1 - b + 2a}{2a + b} $
D.$ \frac{1 - a + 2b}{a + 2b} $

答案：
(1)B

（2）求下列各式的值.
① $ \frac{3}{4}\lg 25 + 2^{\log_{2}3} + \lg\sqrt{0.1} + \lg(2\sqrt{2}) $；
② $ (\lg 5)^{2} + \lg 2\cdot\lg 50 $.

答案：
(2)解：①$4$. ②$1$.