《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 3】
已知集合 $ A = \{x | a - 1 ＜ x ＜ 2a + 1\} $，$ B = \{x | 0 ＜ x ＜ 4\} $. 若 $ A \subseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解：
集合 $ A \subseteq B $，分两种情况讨论：
情况1：$ A = \varnothing $
此时 $ a - 1 \geq 2a + 1 $，解得 $ a \leq -2 $。空集是任何集合的子集，满足 $ A \subseteq B $。
情况2：$ A \neq \varnothing $
此时需满足：
1. $ a - 1 ＜ 2a + 1 $（保证 $ A $ 非空），解得 $ a ＞ -2 $；
2. $ A $ 的所有元素属于 $ B $，即：
左端点：$ a - 1 \geq 0 $，解得 $ a \geq 1 $；
右端点：$ 2a + 1 \leq 4 $，解得 $ a \leq \frac{3}{2} $。
综合得 $ 1 \leq a \leq \frac{3}{2} $。
综上
$ a $ 的取值范围为 $ a \leq -2 $ 或 $ 1 \leq a \leq \frac{3}{2} $。
结论：实数 $ a $ 的取值范围是 $ (-\infty, -2] \cup [1, \frac{3}{2}] $。

5. 变式练 已知集合 $ A = \{x | a - 1 ＜ x ＜ 2a + 3\} $，$ B = \{x | 0 ＜ x ＜ 4\} $. 若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的取值范围是________.

答案： $5.\frac{1}{2} \leq a \leq 1$

6. 同类练 设集合 $ A = \{x | x + 1 \leq 0 $，或 $ x - 4 \geq 0\} $，$ B = \{x | 2a \leq x \leq a + 2\} $. 若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的取值范围是________.

答案： $6.a \leq -3$或$a \geq 2$

7. 拔高练 设 $ A = \{x | x^2 - x - 2 = 0\} $，$ B = \{x | ax - 1 = 0\} $，若 $ B \subseteq A $，则实数 $ a $ 的值为______.

答案： 7.0，-1或$\frac{1}{2}$

1. 若集合 $ M = \{x | x = 4n + 1, n \in \mathbf{Z}\} $，$ N = \{x | x = 2n + 1, n \in \mathbf{Z}\} $，则( )

A.$ M \subsetneqq N $
B.$ N \subsetneqq M $
C.$ M \in N $
D.$ N \in M $

答案： 1.A

2. 已知集合 $ A = \{-1, 0, 1\} $，$ B = \{x | x ＞ a\} $，若 $ A \subseteq B $，则实数 $ a $ 的取值可以为( )

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 2.A

3. 若集合 $ P = \{y | y = x^2 + 1\} $，$ M = \{x | y = x^2 + 1\} $，则集合 $ M $ 与集合 $ P $ 的关系是( )

A.$ M = P $
B.$ P \in M $
C.$ M \subsetneqq P $
D.$ P \subsetneqq M $

答案： 3.D