《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

3. 下列四个函数中，在区间 $ (0, +\infty) $ 上为增函数的是( )

A.$ f(x) = 3 - x $
B.$ f(x) = (x - 1)^2 $
C.$ f(x) = \frac{1}{x} $
D.$ f(x) = x^2 + 2x $

答案： 3.D

4. 用定义法证明函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} $ 在区间 $ (0, 1) $ 上是减函数。

答案： 4.证明:∀x1,x2∈(0,1)，且x1＜x2,
　则f(x1)−f(x2)=$\frac{x_1^{2}}{x_1^{2}-1}-\frac{x_2^{2}}{x_2^{2}-1}$
　=$\frac{x_2^{2}-x_1^{2}}{(x_1^{2}-1)(x_2^{2}-1)}$
　=$\frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{(x_1^{2}-1)(x_2^{2}-1)}$
因为x1＜x2，所以x2 - x1＞0.
　又因为x1,x2∈(0,1),
　所以x1 + 1＞0,x2 + 1＞0,x1 - 1＜0,x2 - 1＜0,x1 + x2＞0,
　所以f(x1)−f(x2)＞0,
　即f(x1)＞f(x2),
　所以函数f(x)=$\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$在区间(0,1)上是减函数;

【例3】
(1) 若函数 $ f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2 $ 在区间 $ (-\infty, 4] $ 上是减函数，则实数 $ a $ 的取值范围为______。
(2) 若 $ y = f(x) $ 在定义域 $ (-1, 1) $ 上是减函数，且 $ f(1 - a) ＜ f(2a - 1) $，则 $ a $ 的取值范围是______。
【自主解答】
【过程评价】
5. 变式练 在本例第(1)小题中，若将条件“在区间 $ (-\infty, 4] $ 上是减函数”改为“单调递减区间为 $ (-\infty, 4] $”，则 $ a = $______。

答案：
(1)(-∞,-3]　
(2)(0,$\frac{2}{3}$)
5.-3

6. 同类练 若函数 $ y = f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增，且 $ f(m^2) ＞ f(-m) $，则实数 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ (-\infty, -1) $
B.$ (0, +\infty) $
C.$ (-1, 0) $
D.$ (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) $

答案： 6.D

7. 拔高练 若函数 $ f(x) = \frac{ax + 1}{x + 2} $ 在区间 $ (-2, +\infty) $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是______。

答案： 7.(-∞,$\frac{1}{2}$)