《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 下列命题中正确的个数是( )
①若 $ a ＞ b $，$ b \neq 0 $，则 $ \frac{a}{b} ＞ 1 $；
②若 $ a ＞ b $，且 $ a + c ＞ b + d $，则 $ c ＞ d $；
③若 $ a ＞ b $，且 $ ac ＞ bd $，则 $ c ＞ d $。

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.A

2. 多选题 已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＜ 0 $，$ z ＜ 0 $，则下列不等式成立的是( )

A.$ x ＞ yz $
B.$ xz ＜ yz $
C.$ \frac{z}{x} ＜ \frac{z}{y} $
D.$ \frac{x}{y} ＜ \frac{x}{z} $

答案： 2.BC

【例 2】已知 $ -6 ＜ a ＜ 8 $，$ 2 ＜ b ＜ 3 $，分别求 $ 2a + b $，$ a - b $ 的取值范围。
【自主解答】
【规律方法】
利用不等式的性质求取值范围问题的注意点
解决此类问题时，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错。在变换过程中，要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减的情况，同时要特别注意同向不等式相乘的条件是同为正。
【过程评价】
3. 变式练 本例的条件不变，求 $ \frac{a}{b} $ 的取值范围。

答案： 【例2】解：-10＜2a+b＜19.
-9＜a-b＜6.
3.解：$-3＜\frac{a}{b}＜4.$

4. 同类练 若 $ 1 \leq a \leq 2 $，$ 3 \leq b \leq 6 $，则 $ 3a - 2b $ 的取值范围为______。

答案： $4.-9\leq3a-2b\leq0$

5. 拔高练 已知 $ 2 ＜ a ＜ 3 $，$ -4 ＜ b ＜ -3 $，分别求 $ a + b $，$ a - b $，$ \frac{a}{b} $，$ ab $，$ \frac{b^2}{a} $ 的取值范围。

答案： 5.解：$-2＜a+b＜0,5＜a-b＜7,-1＜\frac{a}{b}＜$
$-\frac{1}{2},-12＜ab＜-6,3＜\frac{b^2}{a}＜8.$

【例 3】已知 $ a ＜ b ＜ 0 $，求证：$ \frac{b}{a} ＜ \frac{a}{b} $。

答案： 证明：因为 $a ＜ b ＜ 0$，所以 $ab ＞ 0$，$a + b ＜ 0$，$b - a ＞ 0$。
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{a}{b} &= \frac{b^2 - a^2}{ab}\\&= \frac{(b - a)(b + a)}{ab}\end{aligned}$
由于 $ab ＞ 0$，$b - a ＞ 0$，$b + a ＜ 0$，则 $(b - a)(b + a) ＜ 0$，所以 $\frac{(b - a)(b + a)}{ab} ＜ 0$，即 $\frac{b}{a} - \frac{a}{b} ＜ 0$，因此 $\frac{b}{a} ＜ \frac{a}{b}$。

6. 已知 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ c ＜ d ＜ 0 $，求证：$ \frac{a}{d} ＜ \frac{b}{c} $。

答案： 6.证明:因为c＜d＜0，所以-c＞-d＞0.
又因为a＞b＞0，所以-ac＞-bd＞0，所
以ac＜bd.又因为c＜0,d＜0，所以cd＞0.
所以$\frac{ac}{cd}＜\frac{bd}{cd}，$即$\frac{a}{d}＜\frac{b}{c}.$