《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

充要条件
情境：给出下列“若 $ p $，则 $ q $”形式的命题：
① 若两个三角形的两角和两角的夹边分别相等，则这两个三角形全等；
② 若两条直线平行，则内错角相等；
③ 若 $ x ＞ 2 $，则 $ x ＞ 1 $；
④ 若 $ A \cap B = \varnothing $，则 $ A $ 与 $ B $ 均是 $ \varnothing $.
【思考】
（1）写出四个命题的逆命题.
（2）判断四个命题与逆命题的真假.
（3）若将命题①中的条件记为 $ p $，结论记为 $ q $，则 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件？
（4）若 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件，则 $ q $ 是 $ p $ 的充要条件吗？
（5）符号“$\Leftrightarrow$”的含义是什么？

答案： 【思考】
(1)提示:①逆命题:若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和两角的夹边分别相等.
②逆命题:若内错角相等，则两条直线平行.
③逆命题:若$x＞1$，则$x＞2$.
④逆命题:若$A$与$B$均是$\varnothing$，则$A\cap B=\varnothing$.
(2)提示:命题①②和它们的逆命题都是真命题;命题③是真命题，但它的逆命题为假命题;命题④是假命题，但它的逆命题为真命题.
(3)提示:命题①和它的逆命题都是真命题，故$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件.
(4)提示:是，$p$与$q$互为充要条件.
(5)提示:“$\Leftrightarrow$”表示“等价”的意思.

【例 1】下列命题正确的为（ ）

A.“$ x ＞ 2 $，且 $ y ＞ 3 $”是“$ x + y ＞ 5 $”的充要条件
B.“$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $”是“关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有两个不等实根”的充要条件
C.“$ x^{2} $ 为无理数”是“$ x $ 为无理数”的必要不充分条件
D.“$ ax^{2} ＞ bx^{2} $”是“$ a ＞ b $”的充分不必要条件

答案： D