《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、幂函数的概念
情境：观察下面五个函数：
①如果张红以 $ 1 $ 元/kg 的价格购买了某种蔬菜 $ \omega $ kg，那么她需要支付 $ p = \omega $ 元，这里 $ p $ 是 $ \omega $ 的函数。
②如果正方形的边长为 $ a $，那么正方形的面积 $ S = a^{2} $，这里 $ S $ 是 $ a $ 的函数。
③如果立方体的棱长为 $ b $，那么立方体的体积 $ V = b^{3} $，这里 $ V $ 是 $ b $ 的函数。
④如果一个正方形场地的面积为 $ S $，那么这个正方形的边长 $ c = \sqrt{S} $，这里 $ c $ 是 $ S $ 的函数。
⑤如果某人 $ t $ s 内骑车行进了 $ 1 $ km，那么他骑车的平均速度 $ v = \frac{1}{t} $ km/s，即 $ v = t^{-1} $，这里 $ v $ 是 $ t $ 的函数。
【思考】
(1)这 $ 5 $ 个函数有什么共同特征？这 $ 5 $ 个函数是什么函数？
(2)幂函数具有怎样的特征？

答案：
(1)提示:情境中涉及的5个函数都是形如$y = x^{\alpha}$的函数，其中$x$是自变量，$\alpha$是常数.这5个函数是幂函数.
(2)提示:①以幂的底数为自变量，指数为常数;②$x^{\alpha}$前的系数为1，且只有一项.

二、幂函数的图象与性质
【思考】
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限吗？
(2)幂函数的图象在第一象限内，在直线 $ x = 1 $ 的右侧，图象从下到上，相应的指数是如何变化的？在直线 $ x = 1 $ 的左侧，图象从下到上，相应的指数是如何变化的？

答案：
(1)提示:不是，幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限.
(2)提示:幂函数的图象在第一象限内，在直线$x = 1$的右侧，图象从下到上，相应的指数由小变大，在直线$x = 1$的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.