《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 不等式$(x - 2y) + \frac{1}{x - 2y} \geq 2$成立的前提条件为 ( )

A.$x \geq 2y$
B.$x ＞ 2y$
C.$x \leq 2y$
D.$x ＜ 2y$

答案： 1.B

2. 下列不等式一定成立的是 ( )

A.$x + \frac{1}{x} \geq 2(x \neq 0)$
B.$x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1(x \in \mathbf{R})$
C.$x^{2} + 1 \leq 2x(x \in \mathbf{R})$
D.$x^{2} + 5x + 6 \geq 0(x \in \mathbf{R})$

答案： 2.B

3. 若正数$a$，$b$满足$ab = a + b + 3$，则$ab$的取值范围是______。

答案： 3.$ab \geqslant 9$

4. 若$x$，$y$为正数，则$(x + y)(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) \geq$______。

答案： 4.9

5. 已知$a$，$b$，$c$都是正数。
求证：$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geq a + b + c$。

答案： 5.证明：因为$a,b,c$都是正数，所以$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \geqslant 2c,\frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geqslant 2a,\frac{bc}{a} + \frac{ab}{c} \geqslant 2b$，三式相加，得$2(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}) \geqslant 2(a + b + c)$，所以$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geqslant a + b + c$，当且仅当$a = b = c$时，等号成立.

6. 若$0 ＜ a ＜ b$，则下列不等式中成立的是（ ）

A.$a ＜ b ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2}$
B.$a ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$
C.$a ＜ \sqrt{ab} ＜ b ＜ \frac{a + b}{2}$
D.$\sqrt{ab} ＜ a ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$

答案： 6.B

7. 若$0 ＜ a ＜ b$，且$a + b = 1$，则$\frac{1}{2}$，$a$，$b$，$2ab$，$a^{2} + b^{2}$中最小的是______，最大的是______。

答案： 7.$a$ $b$

8. 已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$x + 2y + xy = 30$，求$xy$的取值范围。

答案： 8.解：$xy$的取值范围为$0 ＜ xy \leqslant 18$.

9. 已知$a$，$b$，$c$为不全相等的正实数。
求证：$a + b + c ＞ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$。

答案： 9.证明：因为$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，所以$a + b \geqslant 2\sqrt{ab} ＞ 0,b + c \geqslant 2\sqrt{bc} ＞ 0$，$c + a \geqslant 2\sqrt{ca} ＞ 0$.所以$2(a + b + c) \geqslant 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$，即$a + b + c \geqslant \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$.因为$a,b,c$为不全相等的正实数，所以等号不成立.所以$a + b + c ＞ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$.