《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 若函数$y = f(x)$的值域是$[\frac{1}{2},3]$，则函数$F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$的值域是( )

A.$[\frac{1}{2},3]$
B.$[2,\frac{10}{3}]$
C.$[\frac{5}{2},\frac{10}{3}]$
D.$[3,\frac{10}{3}]$

答案： 1.B

2. 设$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0\lt x\lt1,\\2(x - 1),x\geq1,\end{cases}$若$f(a)=f(a + 1)$，则$f(\frac{1}{a})=$( )

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 2.C

3. 函数$y=\sqrt{7 + 6x - x^2}$的定义域是______。

答案： 3.[-1,7]

4. 已知函数$f(x)=ax^3 - 2x$的图象过点$(-1,4)$，则$a=$______。

答案： 4.-2

1. 函数$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递减，且为奇函数。若$f(1)= - 1$，则满足$-1\leq f(x - 2)\leq1$的$x$的取值范围是( )

A.$[-2,2]$
B.$[-1,1]$
C.$[0,4]$
D.$[1,3]$

答案： 1.D

2. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=2x^3 + x^2$，则$f(2)=$______。

答案： 2.12

3. 已知$a\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=ax^3 - x$，若存在$t\in\mathbf{R}$，使得$\vert f(t + 2)-f(t)\vert\leq\frac{2}{3}$，则实数$a$的最大值是______。

答案： $3.\frac{4}{3}$

4. 已知函数$f(x)=ax+\frac{b}{x}+c$($a$，$b$，$c$是常数)是奇函数，且满足$f(1)=\frac{5}{2}$，$f(2)=\frac{17}{4}$。
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)试判断函数$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上的单调性，并证明。

答案： 4.解：
(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=
-f(x),
所以 c=0.
因为$\begin{cases} f(1)=\frac{5}{2}, \\ f(2)=\frac{17}{4}, \end{cases}$
所以$\begin{cases} a+b=\frac{5}{2}, \\ 2a+\frac{b}{2}=\frac{17}{4}, \end{cases}$
$\begin{cases} a=2, \\ b=\frac{1}{2}. \end{cases}$
(2)由
(1)可得$,f(x)=2x+\frac{1}{2x}.$
f(x)在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减,证明
如下：
设$x_1,x_2 \in (0,\frac{1}{2}),$且0＜x_1＜x_2＜\frac{1}{2},
则$ f(x_1)-f(x_2)=2(x_1 - x_2)+\frac{1}{2x_1}-\frac{1}{2x_2}$
$=2(x_1 - x_2)+\frac{x_2 - x_1}{2x_1x_2}$
$=\frac{(x_2 - x_1)(1 - 4x_1x_2)}{2x_1x_2}.$
因为0＜x_1＜x_2＜\frac{1}{2},
所以$x_2 - x_1＞0,0$＜x_1x_2＜\frac{1}{4},1 - 4x_1x_2＞0,
所以$ f(x_1)-f(x_2)＞0,$
即$ f(x_1)＞f(x_2).$
所以$ f(x)=2x+\frac{1}{2x}$在区间$(0,\frac{1}{2})$上单
调递减.