《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 1】
(1) 函数 $f(x)=\frac{(x - 2)\ln x}{x - 3}$ 的零点是________。
(2) 函数 $f(x)=\begin{cases}\ln x - 1,x＞0,\\ -x^{2}-2x,x\leq0\end{cases}$ 的零点是________。
(3) 已知函数 $f(x)=x^{2}+3(m + 1)x + n$ 的零点为 $1$ 和 $2$，则函数 $y = \log_{n}(mx + 1)$ 的零点为________。
【思路探索】
(1) 在第 (2) 小题中，如何求分段函数的零点？
(2) 在第 (3) 小题中，已知函数零点，如何处理？

答案：
(1)1和2　
(2)e,0和 - 2　
(3)0

1. 若函数 $f(x)=\frac{2}{3^{x}+1}+a$ 的零点为 $1$，则实数 $a$ 的值为( )

A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案： 1.B

2. 若函数 $f(x)=\begin{cases}2^{-x},x\leq1,\\ \log_{81}x,x＞1,\end{cases}$ 则函数 $g(x)=f(x)-\frac{1}{4}$ 的零点为________。

答案： 2.3

【例 2】
(1) 若函数 $f(x)=\begin{cases}|2^{x}-1|,x＜2,\\ \frac{3}{x - 1},x\geq2,\end{cases}$ 则函数 $g(x)=f(x)-1$ 的零点个数为（ ）
A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$
(2) 方程 $3^{x}+\log_{2}x = 0$ 在区间 $[\frac{1}{4},1]$ 上的实数根的个数为________。
【思路探索】
(1) 在第 (1) 小题中，函数 $f(x)$ 是分段函数，应如何求解？
(2) 在第 (2) 小题中，无法直接解方程，如何判断方程根的个数？
【自主解答】
【规律方法】
判断函数零点个数的方法
(1) 直接求出函数的零点进行判断。
(2) 结合函数的图象进行判断。
(3) 借助函数的单调性进行判断。若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间 $(a,b)$ 上单调，满足 $f(a)\cdot f(b)＜0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有且仅有一个零点，如图所示。
【过程评价】
3. 变式练 将本例第 (1) 小题中的函数变为“$f(x)=x - 3+\ln x$”，则如何判断函数 $f(x)$ 的零点个数？

答案：

(1)A　
(2)1
3.解:令f(x)=x - 3 + ln x = 0,则ln x = -x + 3.
在同一平面直角坐标系内作出函数y = ln x与y = -x + 3的图象,如图所示.

由图可知函数y = ln x和y = -x + 3的图象只有一个交点，即函数f(x)=x - 3 + ln x只有一个零点.