《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

二、函数的单调性与单调区间
【思考】
(1) 若函数 $ y = f(x) $ 满足 $ f(2) ＞ f(3) $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $[2, 3]$ 上是单调递减的吗？
(2) 函数 $ y = \frac{1}{x} $ 在其定义域上是减函数吗？

答案：
(1)提示:不能确定.由特殊值的大小不能判定函数的单调性.
(2)提示:不是.y=$\frac{1}{x}$在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上也单调递减，但不能说y=$\frac{1}{x}$在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.

【例1】
(1) 定义在区间 $[-5, 5]$ 上的函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则函数的单调递减区间是______，______，在区间______，______上是增函数。

(2) 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数。
① $ f(x) = -\frac{1}{x} $；
② $ f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \geq 1 \\ 5 - x, & x ＜ 1 \end{cases} $；
③ $ f(x) = -x^2 + 2|x| + 3 $。

答案：

(1)[−2,1]　[3,5]　[−5,−2]　[1,3]
(2)解:①函数f(x)=−$\frac{1}{x}$的单调区间为(-∞,0),(0,+∞)，其在区间(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.
②当x≥1时,f(x)是增函数，当x＜1时，f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞)，并且函数f(x)在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数.
③因为f(x)=−x²+2|x|+3 =$\begin{cases} -x^{2}+2x+3,x\geq0, \\ -x^{2}-2x+3,x \lt 0. \end{cases}$
作出函数的图象，如图所示.
　　　　
由图象可知，函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞).可知f(x)在区间(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在区间(-1,0),[1,+∞)上是减函数;

1. 函数 $ y = \frac{1}{x - 1} $ 的单调递减区间是______。

答案： 1.(-∞,1),(1,+∞)

2. 函数 $ f(x) = -x^2 + 2ax + 3 (a \in \mathbf{R}) $ 的单调递减区间为______。

答案： 2.(a,+∞)

【例2】
证明函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 在区间 $ (2, +\infty) $ 上是增函数。

答案： 证明：任取$x_{1},x_{2}\in(2,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，
$\begin{aligned}f(x_{1})-f(x_{2})&=\left(x_{1}+\frac{4}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}+\frac{4}{x_{2}}\right)\\&=(x_{1}-x_{2})+\left(\frac{4}{x_{1}}-\frac{4}{x_{2}}\right)\\&=(x_{1}-x_{2})+\frac{4(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}\\&=(x_{1}-x_{2})\left(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}}\right)\\&=(x_{1}-x_{2})\cdot\frac{x_{1}x_{2}-4}{x_{1}x_{2}}\end{aligned}$
因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{1}-x_{2}＜0$，
又$x_{1},x_{2}\in(2,+\infty)$，所以$x_{1}x_{2}＞4$，$x_{1}x_{2}＞0$，则$x_{1}x_{2}-4＞0$，
所以$\frac{x_{1}x_{2}-4}{x_{1}x_{2}}＞0$，
因此$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，
故函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$在区间$(2,+\infty)$上是增函数。