《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 若 $ m = 2a^{2} + 2a + 1 $，$ n = (a + 1)^{2} $，则 $ m $，$ n $ 的大小关系是________.

答案： 1.$m \geqslant n$

2. 若实数 $ a ＞ b $，则 $ a^{2} - ab $________$ ab - b^{2} $.(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)

答案： 2.$＞$

3. 已知 $ a_{1} ＞ 1 $，$ a_{2} ＞ 1 $，设 $ P = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} $，$ Q = \frac{1}{a_{1}a_{2}} + 1 $，试比较 $ P $ 与 $ Q $ 的大小.

答案： 3.解：$P - Q = (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}) - (\frac{1}{a_{1}a_{2}} + 1) = \frac{a_{2} + a_{1}}{a_{1}a_{2}} - \frac{1 + a_{1}a_{2}}{a_{1}a_{2}} = \frac{a_{1} - 1 + a_{2}(1 - a_{1})}{a_{1}a_{2}} = \frac{(a_{1} - 1)(1 - a_{2})}{a_{1}a_{2}}$。
因为$a_{1} ＞ 1,a_{2} ＞ 1$，
所以$a_{1} - 1 ＞ 0,1 - a_{2} ＜ 0,a_{1}a_{2} ＞ 0$，
所以$P - Q = \frac{(a_{1} - 1)(1 - a_{2})}{a_{1}a_{2}} ＜ 0$，
所以$P ＜ Q$.

1. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} - 2x + 3a ＜ 0 $ 在(0，2]上有解，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ ( - \infty,\frac{\sqrt{3}}{3}) $
B.$ ( - \infty,\frac{4}{7}) $
C.$ (\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty) $
D.$ (\frac{4}{7}, + \infty) $

答案： 1.A

2. 若关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} - x + a ＞ 0 $ 对一切实数 $ x $ 都成立，则实数 $ a $ 的取值范围为( )

A.$ a ＜ - \frac{1}{2} $ 或 $ a ＞ \frac{1}{2} $
B.$ a ＞ \frac{1}{2} $ 或 $ a ＜ 0 $
C.$ a ＞ \frac{1}{2} $
D.$ - \frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{1}{2} $

答案： 2.C