《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

2. 定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 在 $[0, +\infty)$ 上的图象如图所示。则不等式 $ xf(x) ＞ 0 $ 的解集为 ________________。

答案： 2.(-2,0)∪(0,2)

【例3】（1）设函数 $ f(x) $ 是奇函数，若 $ f(-2) + f(-1) - 3 = f(1) + f(2) + 3 $，则 $ f(1) + f(2) = $ ______。
（2）设函数 $ f(x) = \frac{(x + 1)(x + a)}{x} $ 为奇函数，则 $ a = $ ______。
【自主解答】
【规律方法】
利用函数奇偶性求参数值的常见类型及方法
（1）定义域含参数：奇（偶）函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[a, b]$，根据定义域关于原点对称，可以利用 $ a + b = 0 $ 求参数。
（2）解析式含参数：根据 $ f(-x) = -f(x) $ 或 $ f(-x) = f(x) $ 列式，比较系数可解。
【过程评价】
3. 变式练 在本例第(2)小题中是否存在实数 $ a $ 使函数 $ f(x) $ 为偶函数？说明理由。

答案：
(1)-3　
(2)-1
3.解:不存在.理由如下:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.假设存在a使f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
　即$\frac{(1-x)(a-x)}{-x}$=$\frac{(x+1)(x+a)}{x}$.
　所以(x-1)(a-x)=(x+1)(x+a),即x^{2}+a=0,故不存在a使f(x)为偶函数.

4. 同类练 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x, x \leq 0, \\ ax^2 + bx, x ＞ 0 \end{cases} $ 为奇函数，则 $ a + b = $ ______。

答案： 4.0

5. 拔高练 已知 $ f(x) = ax^{2025} + bx + 1 $($ ab \neq 0 $)，若 $ f(2025) = k $，则 $ f(-2025) = $( )

A.$ 2 - k $
B.$ 1 - k $
C.$ k $
D.$ 3 - k $

答案： 5.A