《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例3】(1)化简：$\sin^{2}\alpha\tan\alpha+\frac{\cos^{2}\alpha}{\tan\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha$；
(2)已知$\tan^{2}\alpha = 2\tan^{2}\beta + 1$，求证：$\sin^{2}\beta = 2\sin^{2}\alpha - 1$。
【思路探索】

答案：
(1)解：$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
(2)证明：因为$\tan^{2}\alpha=2\tan^{2}\beta + 1$，所以$\tan^{2}\alpha + 1=2\tan^{2}\beta + 2$，所以$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+1=2(\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\beta}+1)$，通分可得$\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2}{\cos^{2}\beta}$，即$\cos^{2}\beta=2\cos^{2}\alpha=2(1 - \sin^{2}\alpha)$，所以$1-\sin^{2}\beta=2(1 - \sin^{2}\alpha)$，即$\sin^{2}\beta=2\sin^{2}\alpha - 1$.

7. 化简：$\frac{\cos36^{\circ}-\sqrt{1 - \cos^{2}36^{\circ}}}{\sqrt{1 - 2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}}}$。

答案： 7.解：原式$=1$.

8. 求证：$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha - \sin\alpha}=\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$。

答案： 证明：左边$=\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha - \sin\alpha}$，
将$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$代入，
分子$=\tan\alpha\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$，
分母$=\tan\alpha - \sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha=\sin\alpha\left(\frac{1}{\cos\alpha}-1\right)=\frac{\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}{\cos\alpha}$，
左边$=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}{\cos\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}$。
右边$=\frac{\tan\alpha + \sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$，
分子$=\tan\alpha + \sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\sin\alpha=\sin\alpha\left(\frac{1}{\cos\alpha}+1\right)=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha}$，
分母$=\tan\alpha\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$，
右边$=\frac{\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\cos\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$。
因为$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$，
所以左边=右边，等式成立。
综上，$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha - \sin\alpha}=\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$得证。