《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 1】（1）若 $ a = \log_{0.7}0.9 $，$ b = \log_{1.1}0.7 $，$ c = 1.1^{0.9} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为（ ）
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ c ＜ a ＜ b $

答案： （1）C 

（2）下列不等式成立的是（其中 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）（ ）
A.$ \log_{1.1}(a + 1) ＜ \log_{1.1}a $
B.$ \log_{a}5.1 ＜ \log_{a}5.2 $
C.$ \log_{3}2.9 ＜ \log_{0.5}2.2 $
D.$ \log_{2}0.5 ＜ \log_{7}0.5 $

答案： （2）D 

（3）多选题 已知 $ a = 0.2^{0.3} $，$ b = \ln 0.2 $，$ c = \log_{2}e $，则（ ）
A.$ a ＞ b $
B.$ ab ＜ a $
C.$ a ＞ c $
D.$ bc ＜ 0 $

答案： （3）ABD

1. 若 $ a = \log_{2}\pi $，$ b = \log_{\frac{1}{2}}\pi $，$ c = \pi^{-2} $，则( )

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ a ＞ c ＞ b $
D.$ c ＞ b ＞ a $

答案： 1.C

2. 若 $ a = \log_{3}2 $，$ b = \log_{5}2 $，$ c = \log_{2}3 $，则( )

A.$ a ＞ c ＞ b $
B.$ b ＞ c ＞ a $
C.$ c ＞ b ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案： 2.D

【例 2】（1）不等式 $ \log_{\frac{1}{3}}(5 + x) ＜ \log_{\frac{1}{3}}(1 - x) $ 的解集为________。
（2）若 $ \log_{a}\frac{3}{4} ＜ 1 $，则 $ a $ 的取值范围是________。
（3）解不等式 $ \log_{a}(x - 1) \leq \log_{a}(6 - 2x) $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）。
【自主解答】
【规律方法】
两类对数不等式的解法
（1）形如 $ \log_{a}f(x) ＜ \log_{a}g(x) $ 的不等式。
① 当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，可转化为 $ f(x) ＞ g(x) ＞ 0 $。
② 当 $ a ＞ 1 $ 时，可转化为 $ 0 ＜ f(x) ＜ g(x) $。
（2）形如 $ \log_{a}f(x) ＜ b $ 的不等式可变形为 $ \log_{a}f(x) ＜ \log_{a}a^{b} $。
① 当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，可转化为 $ f(x) ＞ a^{b} $。
② 当 $ a ＞ 1 $ 时，可转化为 $ 0 ＜ f(x) ＜ a^{b} $。
【过程评价】
3. 变式练 将本例第(1)小题中的不等式变为 $ \log_{0.7}(2x) ＜ 1 ＜ \log_{0.7}(x - 1) $，试求不等式的解集。

答案： （1）$(-2,1)$
（2）$(0,\frac{3}{4})\cup(1,+\infty)$
（3）解：①当$a＞1$时，不等式等价于$\begin{cases}x - 1＞0,\\6 - 2x＞0,\\x - 1\leq6 - 2x,\end{cases}$解得$1＜x\leq\frac{7}{3}$；
②当$0＜a＜1$时，不等式等价于$\begin{cases}x - 1＞0,\\6 - 2x＞0,\\x - 1\geq6 - 2x,\end{cases}$解得$\frac{7}{3}\leq x＜3$.
综上可得，当$a＞1$时，不等式的解集为$(1,\frac{7}{3}]$；
当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$[\frac{7}{3},3)$.
3.解：$(1,1.7)$.