《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 1】原有一片面积为 $ a $ 的森林，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等.经计算，砍伐到原面积的一半时，所用时间是 $ 10 $ 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 $ \frac{1}{4} $，已知到今年为止，森林的剩余面积为原面积的 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
(1) 求每年砍伐面积的百分比.
(2) 到今年为止，已经砍伐了多少年？
(3) 今后最多还能砍伐多少年？

答案： 解:
(1)设每年砍伐面积的百分比为$x$.则$a(1 - x)^{10}=\frac{1}{2}a$,即$(1 - x)^{10}=\frac{1}{2}$，解得$x = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$，则每年砍伐面积的百分比为$1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$.
(2)设经过$n$年的砍伐，森林的剩余面积为原面积的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，即$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}}=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$，解得$n = 5$，则到今年为止，已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐$m$年，则$a(\frac{1}{2})^{\frac{m}{10}}=\frac{1}{4}a$，即$(\frac{1}{2})^{\frac{m}{10}}=(\frac{1}{2})^2$，解得$m = 20$，则该片森林一共可砍伐20年，故今后最多还能砍伐$20 - 5 = 15$(年).

1. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 $ p $，第二年的增长率为 $ q $，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.$ \frac{p + q}{2} $
B.$ \frac{(p + 1)(q + 1) - 1}{2} $
C.$ \sqrt{pq} $
D.$ \sqrt{(p + 1)(q + 1)} - 1 $

答案： 1.D

2. 某食品的保鲜时间 $ y $(单位：$ h $)与储藏温度 $ x $(单位：$ \degree C $)满足函数关系 $ y = e^{kx + b} $($ e = 2.71828\cdots $为自然对数的底数，$ k $，$ b $ 为常数).若该食品在 $ 0 \degree C $ 的保鲜时间是 $ 192 h $，在 $ 22 \degree C $ 的保鲜时间是 $ 48 h $，则该食品在 $ 33 \degree C $ 的保鲜时间是______ $ h $.

答案： 2.24