《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

2. 对于任意实数 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $，有以下命题：①若 $ a ＞ b $，$ c \neq 0 $，则 $ ac ＞ bc $；②若 $ a ＞ b $，则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $；③若 $ a ＞ b $，则 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $；④若 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ c ＞ d $，则 $ ac ＜ bd $.其中真命题的个数是( )

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 2.A

3. 一辆汽车原来每天行驶 $ x $ km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km，写成不等式为__________；如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它原来行驶 8 天的路程就得花 9 天多的时间，用不等式表示为__________.

答案： 3.$8(x + 19) ＞ 2200$ $8x ＞ 9(x - 12)$

1. 若正数 $ a $，$ b $ 满足 $ 2ab = 2a + b $，则 $ a + 8b $ 的最小值是________.

答案： 1.$\frac{25}{2}$

2. 已知正数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a + b + c = 2 $，求证：$ \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq 2 $.

答案： 2.证明：因为正数$a,b,c$满足$a + b + c = 2$，
由基本不等式，得$\frac{b^{2}}{a} + a \geqslant 2b$，$\frac{c^{2}}{b} + b \geqslant2c$，$\frac{a^{2}}{c} + c \geqslant 2a$，三式相加可得$\frac{b^{2}}{a} + a + \frac{c^{2}}{b} +b + \frac{a^{2}}{c} + c \geqslant 2b + 2c + 2a$，
所以$\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geqslant a + b + c$，即$\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} +\frac{a^{2}}{c} \geqslant 2$。
当且仅当$a = b = c$时，等号成立.

1. 不等式 $ (1 - x)(x - 2) ＞ 0 $ 的解集为( )

A.$ \{ x | x ＜ 1 $，或 $ x ＞ 2 \} $
B.$ \{ x | 1 ＜ x ＜ 2 \} $
C.$ \{ x | x ＜ - 2 $，或 $ x ＞ - 1 \} $
D.$ \{ x | - 2 ＜ x ＜ - 1 \} $

答案： 1.B

2. 某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为1 000 辆.本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆摩托车投入成本增加的比例为 $ x $($ 0 ＜ x ＜ 1 $)，则出厂价相应提高的比例为 0.75$ x $，同时预计年销售量增加的比例为 0.6$ x $，已知年利润 $ = $(出厂价 $ - $ 投入成本)$ × $ 年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润 $ y $ 与投入成本增加的比例 $ x $ 之间的解析式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 $ x $ 应在什么范围内？

答案： 2.解：
(1)由每辆摩托车投入成本增加的比例为$x$，得本年度每辆摩托车投入成本为$1 × (1 + x)$万元，出厂价为$1.2 × (1 + 0.75x)$万元，年销售量为$1000 × (1 + 0.6x)$辆，所以$y = [1.2 × (1 + 0.75x) - 1 × (1 + x)] × 1000 × (1 + 0.6x)$，即$y = -60x^{2} + 20x + 200(0 ＜ x ＜ 1)$.
(2)欲使本年度的年利润比上年度有所增加，则$\begin{cases} y - (1.2 - 1) × 1000 ＞ 0, \\ 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases}$
即$\begin{cases} -60x^{2} + 20x ＞ 0, \\ 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$，即为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例$x$应在$0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$范围内.