《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

3. 同类练 已知$\cos(75^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{3}$，求$\cos(105^{\circ} - \alpha) - \sin(15^{\circ} - \alpha)$的值。

答案： 3.解:$-\frac{2}{3}$.

4. 拔高练 若$\alpha$是第四象限角，且$3\sin^{2}\alpha = 8\cos \alpha$，则$\cos(\alpha + \frac{2021\pi}{2}) =$( )

A.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 4.C

【例3】求证：$\frac{2\sin(\theta - \frac{3}{2}\pi)\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) - 1}{1 - 2\cos^{2}(\theta + \frac{3}{2}\pi)} = \frac{\tan(9\pi + \theta) + 1}{\tan(\pi + \theta) - 1}$。

答案： 证明：
左边化简：
1. 化简三角函数项
由诱导公式：$\sin\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\theta$（$\theta - \frac{3\pi}{2} = -\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)$，奇变偶不变，符号看象限，得$\sin\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\theta$）；
$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta$（$\theta + \frac{\pi}{2}$为第二象限角，余弦变正弦，符号为负）；
$\cos\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\theta$（$\theta + \frac{3\pi}{2}$为第四象限角，余弦变正弦，符号为正）。
2. 代入分子分母
分子：$2\sin\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) - 1 = 2\cos\theta(-\sin\theta) - 1 = -2\sin\theta\cos\theta - 1$；
分母：$1 - 2\cos^2\left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = 1 - 2\sin^2\theta$。
3. 整理分子分母
分子：$-2\sin\theta\cos\theta - 1 = -\left(2\sin\theta\cos\theta + 1\right) = -\left(\sin\theta + \cos\theta\right)^2$（$\because (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$）；
分母：$1 - 2\sin^2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\cos\theta - \sin\theta)(\cos\theta + \sin\theta) = -(\sin\theta - \cos\theta)(\sin\theta + \cos\theta)$。
4. 化简左边
左边$= \frac{ -(\sin\theta + \cos\theta)^2 }{ -(\sin\theta - \cos\theta)(\sin\theta + \cos\theta) } = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}$。
右边化简：
1. 化简正切项
$\tan(9\pi + \theta) = \tan\theta$（正切周期为$\pi$，$9\pi = 9 × \pi$）；
$\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$（正切周期为$\pi$）。
2. 代入并整理
右边$= \frac{\tan\theta + 1}{\tan\theta - 1} = \frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + 1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - 1} = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}$（分子分母同乘$\cos\theta$）。
结论：
左边$= \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta} = $右边，等式成立。
证毕。